崇尚理性精神，揭示思維過程

——平行關系的判定（第一課時）教學實錄與評析

黃海波執教（安徽省合肥市第六中學）

侯曙明評析（安徽省合肥市第六中學）

摘要：空間中的平行關系的判定是空間線面位置關系研究的開始，在立體幾何學習中具有重要的意義與地位．本節課的教學遵循從具體到抽象的原則，借助實物模型，通過直觀感知，合情推理，探究說理，操作确認，歸納出直線與平面平行的判定定理，讓學生在觀察分析、自主探索、合作交流的過程中理解數學概念，領會數學思想方法，提高空間想象能力．

關鍵詞：平行關系；教學實錄；教學反思；教學評析

本節課依據教學内容在課程體系中的地位與作用，結合學情特點實施教學．教學過程遵循從具體到抽象的原則，适當運用多媒體輔助教學手段，借助實物模型，通過直觀感知，合情推理，探究說理，操作确認，歸納出直線與平面平行的判定定理．

定理形成過程的教學，教師先讓學生通過直觀感知，通過動畫演示，說明與地面平行的日光燈管可以通過平移逐步接近地面，最終确實可以平穩地落到地面内來．直線與平面平行的性質，通過直觀感知，操作确認，學生是不難理解的．反過來，通過一系列問題串：如果平面外一條直線與平面内無數條直線都平行，則該直線與此平面是否平行？需要與平面内的無數條直線都平行嗎？……來逐步引導學生自主探究得到判定定理．強調判定定理的本質是将空間的線面平行降維轉化為線線平行解決，體現了立體幾何中的這種重要的化歸思想．

然後，引導學生回顧總結空間直線與平面的三種位置關系是按照直線與平面的公共點的個數來分類的．

教師指出，直線在平面内的情形，公理1已經解決，直線與平面相交的情形将在後續課程中研究，本節課我們将研究直線與平面平行這一位置關系．

教師面向全體同學提問：根據直線與平面平行的定義（沒有公共點）來判定直線與平面平行你認為方便嗎？談談你的看法．

生3：（學生讨論後）由直線的無限延伸性和平面的無限延展性，直觀上僅由定義不易判定直線與平面平行．

讓學生體會本節課學習的必要性，引出課題。

【設計意圖】學生已有的知識儲備是直線與平面平行的定義．從數學學科内部發展的需要來引起認知沖突并說明本課學習的必要性，邏輯性強，有利于知識系統的主動建構．

2．定理的動态生成過程

根據日常生活的觀察體驗，教師提問：從直觀上感知哪些實例給我們以直線與平面平行的印象？

生4：教室的日光燈與地面平行。

生5：黑闆的邊緣與地面平行。

生6：課桌上的筆與地面平行，足球場上球門的橫梁與足球場平行……

從學生列舉的日光燈的實例出發，教師提問：如果将日光燈平穩下降，日光燈與地面越來越近，最終……

生7：最終日光燈管會落到地面．

師：對，日光最終燈管會平穩地落到地面．

教師利用多媒體動态演示這一過程，并将原來日光燈所在直線記作a，平移到地面（記作平面α）内之後記作直線b，提問：直線a與b是什麼位置關系？

師：非常好．

教師抓住時機，面向全體學生發問：大家能得到空間直線與平面平行的一個判定方法嗎？

學生思考片刻後，生10舉手發言，教師及時肯定學生并糾正其提法，得到定理并闆書（教師帶領全體學生齊聲誦讀定理内容）。

直線和平面平行的判定定理：平面外的一條直線與平面内的一條直線平行，則該直線和此平面平行．

師：“該直線”是指哪條直線？

生：平面外的那條直線．

接下來，教師引導學生通過動手實驗操作，進一步确認定理的正确性．

教師取出預先準備好的兩張矩形紙闆，請兩位學生（生11、生12）走上講台，生11将其中一個矩形的一邊放在另一個矩形上并轉動（如圖2），觀察該矩形的對邊與另一個矩形所在平面的位置，給人以平行的感覺，并能說明定理的正确性．教師引導生12将矩形折去一個角後，折痕所在直線與另一個矩形所在平面就不平行了（如圖3）．這樣，從反面驗證了定理的正确性．

随後，為深刻理解定理，教師給出如下的問題。

想一想：判斷下列命題的真假并說明理由。

①若一條直線不在平面内，則該直線與此平面平行；

②若一條直線與平面内的無數條直線平行，則該直線與此平面平行；

③若平面外的一條直線不與平面内的定直線a平行，則該直線不與此平面平行。

學生思考後，教師提問兩位學生（生16、生17），并要求他們修改條件使命題正确．生16、生17回答得很好，教師對他們提出了表揚．

【設計意圖】定理的發現與論證過程采用了“觀察模型一直觀感知—理性分析—抽象概括—操作确認—思考探究”的方式展開．人教版教材中回避了定理的理論證明，但考慮到數學的理性精神及良好的學情狀況，在定理的生成過程中教師仍然強調了“說理”．在教師的引導下，經過推理，定理生成．考慮到學生主體未能直接動手操作，印象未必深刻．為此，設計了兩個學生活動，讓學生在動手操作中體會定理的正确性，給他們充分的思考時間與空間，讓他們主動建構新知．

3．定理的應用

在定理生成、剖析後，教師給出了“證一證”和“操作思考”．

明．在教師的引導下，大家對該生的精彩回答報以熱烈的掌聲．

【設計意圖】“證一證”是為了讓學生通過動手嘗試證明問題，掌握運用定理解決問題的一般方法，并進一步體會運用定理需滿足的三個要點缺一不可，學生經曆了解題過程後主動發現運用定理的關鍵是找平行線．“操作思考”更是借助一題多解關注不同層次的同學的不同發展需求，讓不同的同學獲得不同的發展．

4．小結與作業

引導學生回憶整個課堂教學進程，談談自己的體會與收獲．生24從知識、方法和思想等方面作了較為詳實的小結．教師及時肯定，并請另一位學生（生25）作了補充完善，完成了課堂小結．

作業部分，給出分層作業，對不同層次的學生提出了不同的要求．

【設計意圖】回避了教師“走過場”式的小結，還學生以學習主體的地位，讓他們自己談體會談收獲談疑惑。一方面，帶領學生回憶整節課的内容以加深印象；另一方面，檢驗一下教學效果，為後面的教學安排提供依據．分層作業顯然尊重了不同學生的現實差異．

二、課例評析

本課的教學，教師注重引導學生對身邊事物的觀察，通過直觀感知、探究說理、操作确認等手段，歸納出直線與平面平行的判定定理．并通過“想一想”（文字判斷題）來深化學生對判定定理的認識，利用一個“證一證”（及其變式）以及一個可以多解的“操作思考”來強化定理的應用．

筆者結合現場觀摩的感受對此課例作一點評．

1．亮點評析

（1）注重“說理”，弘揚理性精神。

數學知識的邏輯性很強，這是數學區别于其他學科的一個顯著特點．學生學習數學的過程就是一個“講道理”的思維過程，在這個過程中處處滲透了數學的思想和方法．教師的教學過程中力求體現這一理念，注重把握數學本質，保證知識的科學性、注意數學的嚴謹性，處處講理．

直線與平面平行的判定定理是高中課标中第一個不要求證明、而通過讓學生直觀感知、操作确認而獲得的幾何結論，但不證明并不意味着“不講理”．教師巧妙地設計了将“燈管”降至地面，并平移以“鋪滿”整個平面來闡明這樣一個基本事實：平面内的任意一點均在某條直線上，這條直線與平面外的直線a平行．因此，平面外的直線與該平面沒有公共點，輔以多媒體的動态演示，學生當然不難接受．事實上，這種處理方式是借由師生活動代替了傳統的“反證法”的證明，其本質是一緻的．

“說理”的好處如下：其一，避免出現直接采信隻經過直觀操作、感知确認等合情推理手段得到的結論，誤認為不需要嚴格證明；其二，推理過程牽涉到空間點、線、面的位置關系，有利于學生進一步理解點、線、面位置關系及幾個公理；其三，有助于學生全面準确理解判定定理，同時也利于良好思維習慣與學習品質的養成．

（2）尊重學生，凸顯主體地位。

我們始終倡導數學課堂教學過程的每一個環節的着力點，都應放在教會學生學習、充分發揮學生主體作用上．我們看到，在該課例中，教師的課堂教學從始至終都充分尊重了學生的主體地位．無論是課堂教學的引入、定理的發現還是定理的應用，都是在教師的有效引導下，學生自主完成的，學生是主角；教師扮演的隻是一個組織者、引導者和合作者，是配角．

縱觀整個課堂教學，我們既看到了教師與全體學生之間問答流暢，實驗操作活躍，也看到了個别學生的生動展示．

當學生回答正确時，教師都能夠及時表揚，給學生以激勵．同時，當學生出現表述不規範（如“b屬于α”）或理解不正确（如生20在“操作思考”題中的錯誤觀點）時，教師都能敏銳地捕捉到，并耐心細緻地幫其糾正，直至學生弄懂為止．這些做法充分尊重了不同層次學生尤其是相對落後的學生的學習需求，值得肯定．另外，分層設置問題（如“操作思考”題有一題多解的可能，這為不同層次的學生都提供了展示的機會），分層布置作業都體現了“不同的人在數學上得到不同的發展”的課标要求．

（3）精巧設計，低起點高立意

章建躍先生在文[1]中特别指出，數學課堂的教學實踐要努力做到“低起點與高立意”．這節課，教師在這方面有很好的表現．從學生身邊的實例入手，引導學生學生活中的數學，這是低起點；将燈管平移後在地面“平鋪”以布滿平面，這是高立意．利用三角形的中位線找線線平行關系來證明線面平行，這是低起點；拓展到平面内判定直線平行的一般方法，這是高立意．在簡單情境中運用判定定理，這是低起點；上升到處理立體幾何問題的一般降維處理方法，這是高立意．“操作思考”題中，前兩種解答方法是低起點，第三種畫線方式是高立意……

（4）雕琢語言，顯精煉重啟發。

教師的教學語言做到了表述嚴密、措詞精當．例如，教師在闡述平行移動日光燈管到地面時，強調“日光燈管可以平穩地落到地面來”．“平穩”二字準确地揭示了客觀事物的本質特征，給學生以清晰的正确認識．另外，數學語言精準，如“平面外”“平面内”“在平面内平移直線b”“折痕所在直線”“書脊所在直線”等．

教師的教學語言簡潔明快，幹淨利落，不拖泥帶水，不重複羅嗦．該講的地方教師做到了講清、講透，不該講的地方教師一句廢話沒有．例如，在形成定理前的說理過程中，闡明平面外的直線與平面沒有公共點時，在學生回答的基礎上，教師作了規範的表述．而在學生分組讨論、回答問題、上黑闆闆演時，教師惜字如金，留給學生充足的思考時間．

教師善于在學生處于“憤徘”之時，用啟發性的語言給予恰當的點撥引導，促使學生開動腦筋，積極主動地去探求解決問題的途徑．例如，在學生回憶平面幾何中判定直線平行的途徑時，在學生說明“操作思考”題中的方法3的正确性而陷入困境時，在學生課堂小結時，教師都做到了适時點撥，及時引導．

在定理的生成過程中，教師抓住“沒有公共點”這一主要特征，設計了一系列環環相扣的問題串：“直線a、b的位置關系？有沒有公共點？直線a、c的位置關系？有沒有公共點？a能與平面α内的無數條直線都平行嗎？a與這無數條直線有公共點嗎？反過來，直線a與平面α内的無數條直線都平行，則a與平面α平行嗎？為什麼？直線a與平面α沒有公共點意味着什麼？需要與平面α内的無數條直線都平行嗎？幾條就可以了？為什麼？據此，大家能得到空間直線與平面平行的一個判定方法嗎？”

問題串由淺入深，拾級而上，引領學生一步步地探究得出結論，凸顯了定理的生成過程，定理的獲得變得自然而然，水到渠成．

參考文獻：

[1] 章建躍. 中學數學課改的十個論題[J].中學數學教學參考（上旬），2010（3）、（4）、 （5）.

[2] 黃智華. 數學教學應關注學生思維能力的培養[J].中國數學教育（高中版），2014（1/2）.

[3] 李瑛華. 學生主體參與數學課堂教學的基本策略、途徑和方法[J].數學通報，2007（1）.

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