證明的東西是什麼?點上方好玩的數學可加關注帶你走進一個不一樣的數學世界，現在小編就來說說關于證明的東西是什麼?下面内容希望能幫助到你，我們來一起看看吧!

證明的東西是什麼

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在自然科學中，真實性是通過經驗方法來确立的，這些方法包括觀察、測量以及（作為黃金标準的）實驗。而在數學中，真實性是通過構造一個證明來确立的，證明是一個能夠确立陳述的真實性的邏輯合理的認證。

當然，“認證”（argument）一詞在這裡的用法，并不是日常用法中更常見到的表示兩個人之間的論争。不過它與論争有點關系的地方是，一個好的證明能夠先發制人地駁斥掉（含蓄地或明确地）所有可能來自讀者的異議（反駁論證）。當職業數學家讀一個證明時，他們通常也像律師盤問證人一般，連續不斷地進行徹查和尋找破綻。

學習如何證明是數學的一個主要内容。這并不是短短數周便能掌握的東西，它需要經年累月的訓練。短期内能實現的目标，以及我在這裡試圖幫助你去做的是，獲得一些認識，一些關于證明數學陳述指的是什麼以及為什麼數學家認為證明如此重要的認識。

構造證明有兩個主要目的：确立真實性和與他人交流。

構造或者閱讀證明是我們使自己确信某個陳述為真的方式。或許我直覺上認為某個數學陳述為真，但直到我證明了它，或者讀到了一個使我信服的證明，我才能确信它為真。

然而，我也可能需要使其他人信服。出于這兩種目的，一個陳述的證明必須能夠解釋為什麼該陳述為真。在第一種情形中，使自己信服通常隻需要我自己的論證邏輯合理，而我在一段時間後仍能跟随得上論證的思路。在第二種情形中，我需要使别人信服，這時就要求得更多了：證明中所提出的解釋也必須能夠讓它的受衆明白。為使他人信服而寫的證明，不僅要求邏輯合理，還要求能成功地與他人交流。（對複雜的證明來說，要使數學家在數天、數周、數月甚至數年後仍能明白他 / 她自己的證明，這條要求同樣很重要，所以即使是純粹出于個人用途的證明，也需要能夠成功地與他人交流。）

證明必須能向預期讀者傳遞解釋，這一點為寫證明樹立了一個很高的門檻。某些證明十分艱深複雜，僅僅隻有該領域的少數專家才能明白它們。譬如，許多世紀以來，大多數數學家都相信，或者至少強烈猜測，對指數n≥3的方程

xⁿ yⁿ=zⁿ

沒有x、y和z的整數解。這是由17世紀偉大的法國數學家費馬提出的猜想，但直到1994年它才由英國數學家安德露·懷爾斯（Andrew Wiles)完全解決，其構造的證明很長且非常深奧。盡管大多數數學家（包括我）由于對該領域缺乏深入了解而無法明白懷爾斯的證明，但該證明的确說服了該領域（解析數論）的專家，從而費馬古老的猜想現在被當作了一個定理。（由于它是費馬所公布的需要證明的幾條數學陳述中的最後一條，所以現在普遍把它叫做費馬最後的定理。）

然而，費馬最後的定理隻是一個個例。盡管某些證明需要數天、數周甚至數月的時間才能被人讀懂并相信，但數學中大多數證明都能被任何一個職業數學家讀懂。

證明數學陳述遠遠不隻是為其搜集證據這麼簡單。舉一個著名的例子，18世紀中期，偉大的瑞士數學家歐拉聲稱，他相信每一個大于2的偶數都能被寫成兩個素數的和。偶數的這條性質是哥德巴赫向他提出的，從而被叫做哥德巴赫猜想。計算機程序能夠對許多具體的偶數檢驗這條陳述，目前為止（2012年7月），已驗證完到1.6×10¹⁸為止的所有數。大多數數學家都相信它是真的，但它至今尚未被證明。

要否證該猜想則隻需找到一個偶數n，使得對n能證明沒有兩個素數的和為n。

順便說一句，數學家并沒有覺得哥德巴赫猜想很重要。數學中并沒有其已知的應用，甚至連任何重要的推論都沒有。它在數學中這麼出名，完全隻是因為它很好理解，有歐拉的支持，并且在兩百五十多年裡一直未被證明。

無論中學時是怎麼教的，證明并不需要具有某種特定的形式。而它絕對必需的一項要求是，它是一個邏輯合理的推理，能夠證明某條陳述的真實性。另一項次要的要求是，它表達得夠好，使其預期讀者稍作努力 便能讀懂該推理。職業數學家的預期讀者通常是另一個在相同數學領域的專家。為學生或者外行而寫的證明則通常需要提供更多的解釋。

這意味着，為了構造一個證明，你必須能确定什麼能夠構成一個邏輯合理的認證，使其不僅能讓你自己信服，也能讓你自己信服，也能讓預期讀者信服。你無法把這件事情化約為一系列的規則。構造數學證明是人類思維最具創造性的一種活動，隻有相對很少的人才能給出真正的原創證明。不過，通過努力，任何具有一定才智的人都能掌握其基礎。我的目标也正在于此。

我在第2章（指《數學思維導論：學會像數學家一樣思考》中第2章，小編注）給出的歐幾裡得關于存在無窮多個素數的證明，是說明證明需要獨具慧眼的一個好例子。在該證明中有兩個創造性的想法。其中之一是，素數的枚舉到任何一步，p₁，p₂，p₃，…，p_n都能繼續進行下去（這用一種迂回的方式證明了無窮）。另一個想法是，考慮到數（p₁p₂p₃…p_n） 1 我估計我們中的大多數人最終都能想到第一個想法，我願意相信自己應該最終能想到。（當我還是一個少年時，我是從書中直接讀到了這個證明。當時我就想，要是作者把證明暫時藏起來，以此考驗讀者，讓他們自己尋找答案該多好，這樣我也能有一次嘗試的機會。）不過第二個創造性的想法則完全是天才之舉。我也願意相信自己應該最終能琢磨出這個想法，但我無法肯定。這也正是我認為歐幾裡得的證明如此令人愉悅，從而陶醉于其精彩的核心思想的原因。

* 節選自《數學思維導論：學會像數學家一樣思考》，[美] 基思·德夫林著，人民郵電出版社。

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