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相關系數

著名統計學家卡爾·皮爾遜設計了統計指标——相關系數(Correlation coefficient)。相關系數是用以反映變量之間相關關系密切程度的統計指标。相關系數是按積差方法計算，同樣以兩變量與各自平均值的離差為基礎，通過兩個離差相乘來反映兩變量之間相關程度；着重研究線性的單相關系數。

依據相關現象之間的不同特征，其統計指标的名稱有所不同。如将反映兩變量間線性相關關系的統計指标稱為相關系數（相關系數的平方稱為判定系數）；将反映兩變量間曲線相關關系的統計指标稱為非線性相關系數、非線性判定系數；将反映多元線性相關關系的統計指标稱為複相關系數、複判定系數等。相關系數的計算公式為：

複相關系數(multiple correlation coefficient)：反映一個因變量與一組自變量(兩個或兩個以上)之間相關程度的指标。它是包含所有變量在内的相關系數。它可利用單相關系數和偏相關系數求得。其計算公式為：

當隻有兩個變量時，複相關系數就等于單相關系數。Excel中的相關系數工具是單相關系數。

2. 相關系數工具的使用

CORREL 和 PEARSON 工作表函數均可計算兩個測量值變量之間的相關系數，條件是每種變量的測量值都是對 N 個對象進行觀測所得到的。（丢失任何對象的任何觀測值都會導緻在分析中忽略該對象。）相關系數分析工具特别适合于當 N 個對象中的每個對象都有兩個以上的測量值變量的情況。它提供一張輸出表（相關矩陣），其中顯示了應用于每個可能的測量值變量對的 CORREL（或 PEARSON）值。

與協方差一樣，相關系數是描述兩個測量值變量之間的離散程度的指标。與協方差的不同之處在于，相關系數是成比例的，因此它的值與這兩個測量值變量的表示單位無關。（例如，如果兩個測量值變量為重量和高度，當重量單位從磅換算成千克時，相關系數的值并不改變。）任何相關系數的值都必須介于 -1 和 1 之間（包括 -1 和 1）。

可以使用相關系數分析工具來檢驗每對測量值變量，以便确定兩個測量值變量是否趨向于同時變動，即，一個變量的較大值是否趨向于與另一個變量的較大值相關聯（正相關）；或者一個變量的較小值是否趨向于與另一個變量的較大值相關聯（負相關）；或者兩個變量的值趨向于互不關聯（相關系數近似于零）。

例：9個小麥品種(分别用A1,A2,...,A9表示)的6個性狀資料見表，作相關系數計算。

試驗數據

（1）建立一張工作表，輸入數據：

（2）從“數據”選項卡選擇“數據分析”，從“數據分析”列表框中選擇“相關系數”，單擊“确定”彈出相關系數對話框。

數據區域可包括變量名稱，但不包括樣本編号。每個變量的樣本按行排列的選擇“逐行”按列排列的選擇“逐列”。若包括變量名稱，則選擇“标志位于第一列”

（3）單擊“确定”得偏相關系數如下表。

Excel分析工具中的“相關系數”僅計算出相關系數的值，并未進行相關性檢驗。相關系數檢驗可由相關系數臨界值來判斷。

相關系數為可決系數的平方根，可決系數為回歸平方和與總誤差平方和之比，而F統計量為回歸均方和與總均方和之比，由于可借助F臨界值求得相關系數臨界值。即：

本例中n=9,在G9單元格輸入=SQRT(FINV(0.05,1,7)/(FINV(0.05,1,7) 7))，在B12輸入=IF(ABS(B4)>$G$9,"相關性顯著","不顯著")并複制，得：

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協方差

1. 協方差的概念

在概率論和統計學中，協方差用于衡量兩個變量的總體誤差。而方差是協方差的一種特殊情況，即當兩個變量是相同的情況。兩個實數随機變量X與Y之間的協方差定義為：COV(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]其中，E是期望值。

2. 協方差工具的使用

當您對一組個體進行觀測而獲得了 N 個不同的測量值變量時，“相關”和“協方差”工具可在相同設置下使用。“相關”和“協方差”工具都會提供一張輸出表（矩陣），其中分别顯示每對測量值變量之間的相關系數或協方差。不同之處在于協方差的取值在 -1 和 1 之間，而協方差沒有限定的取值範圍。相關系數和協方差都是描述兩個變量離散程度的指标。

“協方差”工具為每對測量值變量計算工作表函數 COVAR 的值。（當隻有兩個測量值變量，即 N=2 時，可直接使用 COVAR，而不要使用“協方差”工具。）在“協方差”工具的輸出表中的第 i 行、第 i 列的對角線上的輸入值是第 i 個測量值變量與其自身的協方差；這正好是用工作表函數 VARP 計算得出的變量的總體方差。

可以使用“協方差”工具來檢驗每對測量值變量，以便确定兩個測量值變量是否趨向于同時變動，即，一個變量的較大值是否趨向于與另一個變量的較大值相關聯（正相關）；或者一個變量的較小值是否趨向于與另一個變量的較大值相關聯（負相關）；或者兩個變量中的值趨向于互不關聯（協方差近似于零）。

例：9個小麥品種(分别用A1,A2,...,A9表示)的5個性狀資料見表，作協方差計算。

（1）建立一張工作表，輸入數據：

（2）從“數據”選項卡選擇“數據分析”，從“數據分析”列表框中選擇“協方差”，單擊“确定”彈出協方差對話框。

數據區域可包括變量名稱，但不包括樣本編号。每個變量的樣本按行排列的選擇“逐行”按列排列的選擇“逐列”。若包括變量名稱，則選擇“标志位于第一列”

（3）單擊“确定”得協方差如下表。

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回歸

1. 回歸基本公式

對于多元回歸，仍可用最小二乘法。決定系數與調整的決定系數：

2. 回歸工具的使用

“回歸”分析工具通過對一組觀察值使用“最小二乘法”直線拟合來執行線性回歸分析。本工具可用來分析單個因變量是如何受一個或幾個自變量的值影響的。

例：某企業成本與銷售額如下表（單元：萬元），試進行多元線性回歸。

（1）打開一張EXCEL表格，輸入數據如下。

（2）數據｜分析｜數據分析｜回歸，彈出回歸對話框并設置如下：

（3）單擊“确定”得如下輸出結果。

摘要表：表中Multiple R為複相關系數；R Square為決定系數；Adjusted R Square調整的決定系數。

輸出結果（摘要） SUMMARY OUTPUT

輸入結果（方差分析表）

參數值、參數檢驗與置信區間。

輸出結果（回歸系數、t檢驗及置信區間

輸出結果（殘差）RESIDUAL OUTPUT

表中的标準殘差＝(殘差-殘差的均值)/殘差的标準差即

輸入結果（百分比排位）PROBABILITY OUTPUT

End.

作者：大數據雜談來源：簡書

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