在中考數學試題中,菱形與動點問題相結合的綜合題在全國很多個地方試卷當中出現,此類題型主要是綜合了菱形的性質和動點問題特性來命題。
菱形除了具備平行四邊形的性質外,還具有自身一些特殊性質:
如菱形的四條邊相等;
菱形的對角線互相垂直平分,且每一條對角線平分菱形的一組對角;
菱形既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形。
菱形具有一些特殊性質,它就可與其他知識版塊緊密聯系在一起,因此對以菱形為載體的中考命題備受命題者的青睐。
動點問題一直是中考數學的熱點和難點,很多考生看到動點相關問題就怕,不知道從何下手解決。
動點問題之所以會難,主要在于它能把很多知識内容結合在一起,形成不同類型的動點綜合問題,如函數動點綜合問題、代數動點綜合問題、函數與幾何動點綜合問題、幾何動點綜合問題等,而幾何動點綜合問題細分的話,又可以分出四邊形動點綜合問題、三角形動點綜合問題、與圓相關的動點綜合問題等。
為了能更好幫助大家拿下菱形與動點類相關的綜合問題,在中考數學中取得優異的成績,今天我們就一起來講講此類綜合問題。
典型例題分析1:
已知菱形ABCD的邊長為1,∠ADC=60º,等邊△AEF兩邊分别交DC、CB于點E、F。
(1)特殊發現:如圖1,若點E、F分别是DC、CB的中點,求證菱形ABCD對角母AC、BD的交點O即為等邊△AEF的外心;
(2)若點E、F始終分别在邊DC、CB上移動,記等邊△AEF的外心為點P。
①猜想驗證:如圖2,猜想△AEF的外心P落在哪一直線上,并加以證明;
②拓展運用:如圖3,猜想△AEF面積最小時,過點P任作一直線分别交邊DA于點M,交邊DC的延長線于點N,試判斷1/DM 1/DN是否為定值,若是,請求出該定值;若不是,請說明理由。
考點分析:
相似三角形的判定與性質;全等三角形的判定與性質;等邊三角形的性質;菱形的性質;三角形的外接圓與外心.
題幹分析:
(1)首先分别連接OE、0F,由四邊形ABCD是菱形,即可得AC⊥BD,BD平分∠ADC.AO=DC=BC,又由E、F分别為DC、CB中點,即可證得0E=OF=OA,則可得點O即為△AEF的外心;
(2)①首先分别連接PE、PA,過點P分别作PI⊥CD于I,PJ⊥AD于J,即可求得∠IPJ的度數,又由點P是等邊△AEF的外心,易證得△PIE≌△PJA,可得PI=PJ,即點P在∠ADC的平分線上,即點P落在直線DB上.
②當AE⊥DC時.△AEF面積最小,此時點E、F分别為DC、CB中點.連接BD、AC交于點P,由(1)可得點P即為△AEF的外心.由△GBP∽△MDP,即可 為定值2.
解題反思:
此題考查了相似三角形的判定與性質,三角形的外心的判定與性質,以及菱形的性質等知識。此題綜合性很強,圖形也比較複雜,解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的結合。
菱形是初中幾何最基礎也是最重要的知識,近年來,有關菱形的創新題目層出不窮,令人目不暇接,大家一定要認真對待。因此本文通過介紹幾種類型題,供大家參考學習,以便掌握最新的題型,解好這種類型題。
典型例題分析2:
如圖,将一張直角三角形ABC紙片沿斜邊AB上的中線CD剪開,得到△ACD,再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置,若平移開始後點D′未到達點B時,A′C′交CD于E,D′C′交CB于點F,連接EF,當四邊形EDD′F為菱形時,試探究△A′DE的形狀,并判斷△A′DE與△EFC′是否全等?請說明理由.
題幹分析:
當四邊形EDD′F為菱形時,△A′DE是等腰三角形,△A′DE≌△EFC′.先證明CD=DA=DB,得到∠DAC=∠DCA,由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判斷△DA′E的形狀.由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D,∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE,再根據A′D=DE=EF即可證明.
解題反思:
本題考查平移、菱形的性質、全等三角形的判定和性質、直角三角形斜邊中線定理等知識,解題的關鍵是靈活運用這些知識解決問題,屬于中考常考題型。
以菱形為條件的中考數學題,一般都是以菱形的概念、性質為切入點,考查數學的基礎知識、基本技能和基本思想方法,重在考查學生的創新意識和探究能力,較好地體現了新課程标準的理念。
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