一個三角形的面積和周長的題-tft每日頭條

一個三角形的面積和周長的題

教育更新时间:2025-03-31 10:51:22

一道初中題-求最大的三角形周長

在圖中PQRS是個正方形，邊長為4，點T和U在變QR和RS上。∠UPT=45°，求三角形RUT的可能的最大周長。

一個三角形的面積和周長的題（一道初中題-求最大的三角形周長）1

解法1：初中解法，如圖

一個三角形的面積和周長的題（一道初中題-求最大的三角形周長）2

将三角形PSU逆時針旋轉90度，這樣PS落在了PQ上， S落到了V，

PV=PU， PT=PT

而∠VPT=∠VPQ ∠TPQ=∠UPS ∠TPQ=90°-∠UPT=45°

即∠UPT=∠VPT

因此三角形PUT全等于三角形PVT，

所以UT=VT

因此三角形UTR的周長為：

UR RT UT

=UR RT VT

=UR RT (TQ VQ)

=(UR VQ) (RT TQ)

因為VQ=US , RT TQ=RQ=4， UR US=SR=4

所以：

UR RT UT

=UR RT VT

=UR RT (TQ VQ)

=(UR US) (RT TQ)

=SR RQ

=4 4

所以三角形RUT的周長是個定值，其可能的最大值就是8.

解法2：用高中的三角知識，

設∠SPU=θ，那麼可以得知，QPT=90°-45°-θ=45°-θ

一個三角形的面積和周長的題（一道初中題-求最大的三角形周長）3

應為PS=PQ=4，所以

SU=4tanθ

QT=4tan(45°-θ)

因此UR=4-4tanθ

TR=4-4tan(45°-θ)

在三角變換中：

一個三角形的面積和周長的題（一道初中題-求最大的三角形周長）4

所以：

一個三角形的面積和周長的題（一道初中題-求最大的三角形周長）5

根據勾股定理，在直角三角形UTR中，斜邊的長度為：

一個三角形的面積和周長的題（一道初中題-求最大的三角形周長）6

因此：

一個三角形的面積和周長的題（一道初中題-求最大的三角形周長）7

說明所求周長為定值8.

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