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1．有理數的分類：

（1）按定義分類：

（2）按性質分類：

要點诠釋：（1）用正數、負數表示相反意義的量；

（2）有理數“0”的作用：

2．數軸：規定了原點、正方向和單位長度的直線．

要點诠釋：（1）一切有理數都可以用數軸上的點表示出來，數軸上的點不都表示的是有理數，如π．

（2）在數軸上，右邊的點所對應的數總比左邊的點所對應的數大．

3．相反數：隻有符号不同的兩個數互稱為相反數，0的相反數是0．

要點诠釋：（1）一對相反數在數軸上對應的點位于原點兩側，并且到原點的距離相等，這兩點是關于原點對稱的．

（2）求任意一個數的相反數，隻要在這個數的前面添上“-”号即可．

（3）多重符号的化簡：數字前面“-”号的個數若有偶數個時，化簡結果為正，若有奇數個時，化簡結果為負．

4．絕對值：

（1)代數意義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0． 數a的絕對值記作|a|．

（2)幾何意義：一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離．

1．已知x與y互為相反數，m與n互為倒數，|x y | （a-1）²＝0，求a²-(x y mn)a (x y)²⁰⁰⁹ (-mn)²⁰¹⁰的值．

【思路點撥】(1)若有理數x與y互為相反數，則x y＝0，反過來也成立．

(2)若有理數m與n互為倒數，則mn＝1，反過來也成立．

【答案與解析】

解：因為x與y互為相反數，m與n互為倒數，（a-1）²≥0，

所以x y＝0，mn＝1，a＝1，

所以a²-(x y mn)a (x y)²⁰⁰⁹ (-mn)²⁰¹⁰

＝a²-(0 1)a 0²⁰⁰⁹ (-1)²⁰¹⁰

＝a²-a 1．

∵a＝1，∴原式＝1²-1 1＝1

【總結升華】要全面正确地理解倒數，絕對值，相反數等概念.

【變式1】選擇題

（1）已知四種說法：

①|a|=a時，a>0；|a|=-a時， a<0. ②|a|就是a與-a中較大的數.

③|a|就是數軸上a到原點的距離. ④對于任意有理數，-|a|≤a≤|a|.

其中說法正确的個數是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

（2）有四個說法：

①有最小的有理數 ②有絕對值最小的有理數

③有最小的正有理數 ④沒有最大的負有理數

上述說法正确的是（ ）

A．①② B．③④ C．②④ D．①②

（3）已知(-ab)³>0，則（ ）

A．ab<0 B．ab>0 C．a>0且b<0 D．a<0且b<0

（4）若|x-1| |y 3| |z-5|=0，則(x 1)(y-3)(z 5)的值是（ ）

A．120 B．-15 C．0 D．-120

（5）下列各對算式中，結果相等的是（ ）

A．-a⁶與(-a)⁶ B．-a³與|-a|³ C．[(-a)²]³與(-a³)² D．(ab)³與ab³

【答案】（1）C；（2）C；（3）A；（4）D；(5)C

【變式2】（2015•呼倫貝爾）中國的陸地面積約為9 600 000km²，把9 600 000用科學記數法表示為 ．

【答案】9.6×10⁶．

2.（2016•江西校級模拟）如果m，n互為相反數，那麼|m n﹣2016|=________．

【思路點撥】先用相反數的意義确定出m n=0，從而求出|m n﹣2016|.

【答案】2016.

【解析】解：∵m，n互為相反數，

∴m n=0，

∴|m n﹣2016|=|﹣2016|=2016；

故答案為2016．

【總結升華】此題是絕對值題，主要考查了絕對值的意義，相反數的性質，熟知相反數的意義是解本題的關鍵．

5．（2014•香洲區校級二模）（1）閱讀下面材料：

點A，B在數軸上分别表示實數a，b，A，B兩點之間的距離表示為|AB|．

當A，B兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；

當A，B兩點都不在原點時，

①如圖（2），點A，B都在原點的右邊，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；

②如圖（3），點A，B都在原點的左邊，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；

③如圖（4），點A，B在原點的兩邊，|AB|=|OA| |OB|=|a| |b|=a （﹣b）=|a﹣b|；

綜上，數軸上A，B兩點之間的距離|AB|=|a﹣b|．

（2）回答下列問題：

①數軸上表示2和5的兩點之間的距離是 ，數軸上表示﹣2和﹣5的兩點之間的距離是 ，數軸上表示1和﹣3的兩點之間的距離是 ；

②數軸上表示x和﹣1的兩點A和B之間的距離是 ，如果|AB|=2，那麼x為 ；

③當代數式|x 1| |x﹣2|取最小值時，相應的x的取值範圍是 ．

④解方程|x 1| |x﹣2|=5．

【答案與解析】

解：①數軸上表示2和5的兩點之間的距離是|2﹣5|=3；

數軸上表示﹣2和﹣5的兩點之間的距離是|﹣2﹣（﹣5）|=3；

數軸上表示1和﹣3的兩點之間的距離是|1﹣（﹣3）|=4．

②數軸上表示x和﹣1的兩點A和B之間的距離是|x﹣（﹣1）|=|x 1|，如果|AB|=2，那麼x為1或﹣3．

③當代數式|x 1|十|x﹣2|取最小值時，

∴x 1≥0，x﹣2≤0，

∴﹣1≤x≤2．

④當x≤﹣1時，﹣x﹣1﹣x 2=5，解得x=﹣2；

當﹣1＜x≤2時，3≠5，不成立；

當x＞2時，x 1 x﹣2=5，解得x=3．

故答案為：3，3，4，|x 1|，1或﹣3，﹣1≤x≤2．

【總結升華】此題綜合考查了數軸、絕對值的有關内容，用幾何方法借助數軸來求解，體現了數形結合的優點．

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