譯文

自由度是機械學中最重要的概念之一。這個概念廣泛應用于機器人技術和運動學。 D.O.F的含義是“确定一個機構在空間中的位置需要多少個變量”。本文我們将學習如何計算機構的自由度。

自由度

如圖4所示的機構，任何一個組件的角度和位置改變都會帶動整個機構的改變。所以它的自由度是1 。同樣地，凸輪從動機構的自由度也是1 。但是要确定滑塊曲柄機構的位置，需要知道至少2個組件的角度或者位移。所以它的自由度是2 。

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靠直覺就可以預估一些簡單機構的自由度。但對于一個複雜機構來說，這個方法就不太奏效。下面我們來學習如何計算機構的自由度。

剛體的自由度

下圖所示的位于空間中的剛體，它有三種平移運動，還有三種旋轉運動，總計需要六個變量來确定其位置。因此剛體在空間中的自由度是6 。

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如果它位于一個平面中，就隻有3種運動方式。兩種平移運動和一種旋轉運動。所以剛體在平面中的自由度是3 。

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機構的自由度

機構是剛體或者連杆的集合體，通過運動副連接，其中一個連杆接地（固定）。如下圖所示。

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如果系統沒有運動副連接，那麼沒有接地的連杆會有3個自由度。

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所以自由度的總數是3(N-1)，N代表連杆的數量，上圖的機構中有3個連杆。不過，将它們通過運動副連接之後，連杆就沒有相同的3個自由度。如果連杆之間的接合處有如下圖所示的面接觸，那麼兩個連杆将在X和Y軸方向擁有相同的平移運動。所以每一對運動副的自由度都将減少2個。下面的方程中，LP代表的是通過面接觸的運動副數量。這樣的運動副稱為低副。在這一機構中有2個低副。

如果兩個連杆的接合處是線接觸或者點接觸，兩個連杆會沿着公法線進行相同的平移運動，不過沿切線方向的運動并不相同。所以通過這樣的運動副連接，自由度的總數将減少1個。這樣的運動副稱為高副。如下圖所示。

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所以，這個機構隻有1個自由度。也就是說，隻需知道一個凸輪的位置，我們就能确定整個機構的位置。平面機構的自由度計算公式如下，它也被稱為庫茨巴赫方程。

D.O.F = 3(N - 1) -2L_P - H_P

方程中的N代表機構中的連杆總數。LP代表低副的數量，HP代表高副的數量。

四杆機構

回到原來的平面機構。它擁有4個連杆，4個低副。通過庫茨巴赫方程可以算出這個機構的自由度是1 。

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凸輪從動機構

該機構有3個連杆，2個低副，1個高副。所以它的自由度依然是1 。

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五杆機構

該機構擁有5個連杆，5個低副。所以機動性是2 。

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三維機構

如果機構是三維立體結構，利用相同的原理很容易推導出它的自由度計算公式如下：

D.O.F = 6(N - 1) -5P₅ - 4P₄ - 3P₃ - 2P₂ - 1P₁

Pn代表的是限制n個自由度的運動副數量，比如P5就表示限制了5個自由度的運動副數量。這裡的關鍵在于确定運動副的性質。你可以用這個方程來計算三維機構的自由度。

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