數是無限多的，處理數的辦法也是無限多的。數學家們常常把數表示在一條直線上，這條直線就是教材上說的數軸。在數軸上取一個點，這個點就代表了一個數。到頭來，我們所用的幾乎所有的數都是建立在構成數學基礎的那些非常重要的數之上。

而下面介紹的的八個數，是你構建數軸必須的，也是你做其它和數相關的事需要的。

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“0”：一切從“零”開始

“0”表示沒有。“0”也是我們構造數系必需的一個數。當我們要寫的數不止一位數時，“0”就是一個占位符号——“0”讓我們清楚地知道2塊錢和20塊錢的區别。

“0”本身在數學時也是至關重要的數。“0”是“加法單位元”——任何數加上“0”得到的還是那個數本身：3 0=3。“0”的這個性質也是它在算術和代數中的核心性質。“0”在數軸中間，把數軸分成正半軸和負半軸兩部分，而且它還是我們構建數系的起點。

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“1”： 隻有零我們做不了太多，于是我們有了“一”。

“0”是“加法單位元”，而是“1”是乘法單位元——任何一個數乘以“1”得到的數都是那個數本身：5×1=5。

有了“1”，我們就能開始構建我們的數軸了。特别的，我們用“1”來得到自然數：0，1，2，3，4，5，等等。我們不斷地在其自身上加上“1”來得到不同的數：2就是1 1，3就是2 1，4就是3 1，不斷下去，直到無窮。

自然數是我們最基本的數。我們利用它們來數東西。同樣，我們可以用自然數來做算術：兩個自數然，它們相加或者相乘，能得到别的自然數。

一些時候——當然不是任何時候——我們也能用減法和除法得到别的自然數：10-7=3以及18÷2=9。隻需用“0”、“1”和基本的算術運算，我們已經能做得很不錯了，很多數學也隻用到了自然數。

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“—1”： 自然數已經非常好了，但它能做的事還是很有限。

剛才說過，不是任何兩個自然數相減都能得到自然數。如果我們所有事都圍繞自然數來做，我們無法解釋像這樣一個式子：3-7。

在數學裡，有一種精彩的事故——當遇到類似局限時，我們可以擴充我們的系統來打破這樣的局限。為了讓每個減法有意義，我們加入“-1”來擴充我們的數軸。“-1”能生産出所有負整數，因為“-1”與任何數相乘能得到那個數的相反數：-3就是-1×3。

帶來負整數的同時，我們也解決了剛才減法的問題：3-8=-5。把正整數、零和負整數放在一起，我們得到了整數，而且我們在任何時候都可以将兩個整數做減法，得到的還是整數。整數為數軸提供了很多錨點。

負數對欠款的表示很有用。如果我信用透資取了500塊錢，于是我可以認為銀行賬戶的餘額為-500元。負數也讓我們在一些數量表示時，使用比零小的數成為可能，比如說氣溫。在冰冷南極，平均氣溫能達到-40°C左右。

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“1/10”： 整數适用于描述完整的事物，但對于一些事物我們需要讨論它的一部分。

同樣的，整數的算術體系同樣不完整——即便我們任何時候把兩個整數做加、減、乘還是得到整數，但是有時候，兩個整數做除法，我們得不到整數。如隻有整數，9÷5将沒有意義。

為了應付這個情況，我們在數軸上加入“1/10”，或者說“0.1”。有了“0.1”，我們對他做乘方能得到0.01，0,001，0.0001，等等。這樣，我們能表示分數和小數了。

9÷5就是1.8。兩個整數相除（被除數不能為零）能得到小數。它們有的是有限小數，像1.8，有的是循環小數，像1÷3=0.33333……,無限個3循環下去。

這種形式的小數，我們叫有理數，他們能表示成兩個整數的比值，即分數。有理數在算術運算下已經是封閉的了——對任何兩個有理數做加、減、乘、除得到的還是有理數。

有理數讓我們能表示出整數之間的數，也能表示出一個整體的一部分。比如我和我的三個朋友要分享一個大蛋糕，我們把蛋糕切了，每人拿到蛋糕的1/4，0.25或者25%。有理數幫助我們開始填補數軸上整數與整數之前的縫隙了。

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“根号2”： 有理數打開了無理數的大門，因為有的數不能表示成整數的之間的比。

一個數的算術平方根是這樣一個非負數，即它的平方等于原來的那個數。于是9的算術平方根是3，因為3² = 3 x 3 = 9。我們能為每一個正數找到算術平方根，隻是有一些，他們的算術平方根有些複雜。

2的算術平方根就是這樣複雜的數。它是一個無理數——他的小數展開後，不會終止，也不會循環。“根号2”展開的數字是這樣的1.41421356237……看起來規律很奇怪和混亂。

實際上，大部分有理數的算術平方根都是無理數——而一些例外，比如說9叫做完全平方數。平方根在代數是非常重要，它們是很多方程的解。比如說“根号2”是x²=2的解。

有理數和無理數放在數軸上，我們就能鋪滿整個數軸。有理數和無理數一起，我們稱為實數，它們是在各種計算中最常用到的數。現在，我們完成了整個數軸的構建，我們來看看一對非常重要的無理數。

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“π”： 現在我們來增加維度，到平面和立體幾何中去。

圓周率“π”——圓周長與半徑之比——可能是幾何中最重要的一個數。“π”展示了一些關于圓和球的基本關系——半徑為r的圓的面積是πr²，半徑為r的球的面積是4πr³/3。

“π”在三角函數也有重要性質。2π是基本三角函數正弦函數和餘弦函數是最小正周期。就是說，函數值在每一個2π長度的區間上不斷重複。這樣的函數用于描述周期變化或者不斷往複的事物，比如說聲波。

和“根号2”一樣，“π”是一個無理數。它的小數展開不會終止，也不會循環。開始的幾位小數大家非常熟悉， 3.14159……，數學家用計算機，通過夜以繼日的計算，面把“π”展開到了10萬億位以後，但我們大多時候隻需要前面很少的幾位，去得到一些精确的結果。

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“e”： 用它來計算複利

自然對數底，又叫歐拉數，用“e”來表示。“e”是指數函數的底數。指數函數用來表示一個事物數理倍增或者衰減的過程。如果一開始兩隻兔子，一個月後有了4隻，兩個月後有了8隻，三個月後有了16隻。推廣下去，n個月後，有了2n 1隻，——n 1個2自己乘起來。

“e”是無理數，展開是2.71828……，但和所有無理數一樣，小數點後面的數字永遠不會終止也不會循環。ex叫做自然指數函數，他是其它指數函數的基準。

原因有些許複雜，因為ex很特别。如果你們學過微積分，你會知道ex的導數還是ex。就是說對每個x，函數ex的在點x的增長率正好是函數值本身——比如x=2，那麼ex在這點的增長率是e²。這是隻有ex才具有的唯一性質，使得ex在數學上有着非常漂亮的操作性。

ex在大部分指數過程中很有用。有一個常見應用就是計算複利。初始的本金是P，年利率是r，那麼在t年投資回報A(t)可以表示成公式A(t)=Pert。

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“i”： 現在，虛數來了

我們之前提到的内容，我們知道每個正數都能計算的算術平方根，所以我們來看看對于負數會發生什麼。負數在實數範圍内是沒有算術平方根的。兩個負數相乘得到的是正數，所以任何實數的平方都是不小于零的，即沒有一個實數的平方是負數。但是，我們之前也說過，當遇到局限時，我們可以擴充我們的系統來打破這樣的局限。

所以，我們遇到的局限是“-1”沒有平方根，于是我們就傻傻地問自己，如果有會怎麼樣？我們定義了“i”，叫做虛數單位，作為“-1”的平方根。然後，把所有的數作加、減、乘、除，想辦法讓這些結果有意義，于是我們把實數擴展到了複數。

複數有着很多讓人驚奇的性質和應用。我們把實數用一條直線表示，我們也能把複數用一個平面表示，橫軸表示實數，縱軸上的點都是虛數，用來表示負數的平方根。每個多項式方程至少有一個複數解，這是一個非常重要的結果，數學家們稱為代數基本定理。在幾何上，複平面能導出很多讓人吃驚和漂亮的結果，在物理的電學和工程中也有很多應用。

學之道——善學者,事半而功倍,又從而悅之;不善學者,事倍而功半,又從而厭之。

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