格點作圖問題作為中考的新寵兒，自從登上中考試卷之後，迅速的在初中各年級考試當中鋪開，并且難度有逐年加大的趨勢. 借鑒了尺規作圖的處理思路，我對格點做圖進行了探讨，講一些經驗分享如下.

在正式開始格點作圖的讨論之前，我們必須要樹立這樣的一個概念，正如尺規作圖存在局限性一樣，有著名的尺規作圖三大不可能問題，格點作圖也存在很大的局限性. 那麼格點作圖能處理哪些問題呢？他的局限性是什麼呢？這便是我們要探讨的問題了.

第一次接觸到格點作圖的，會讓你想到什麼呢？

很多同學回答我說，想到了平面直角坐标系，但是格點作圖和平面直角坐标系是迥然不同的兩個東西. 格點作圖的網格是“稀疏”的，平面直角坐标系的網格是“稠密”的. 如果我們也把格點作圖的網格視作坐标系的話，那麼借由無刻度直尺，我們隻能在這個所謂的“格點坐标系”裡面畫出橫縱坐标均為有理數的點，而在平面直角坐标系中，我們可以畫出橫縱坐标為任意實數的點.

和平面直角坐标系進行對比之後，我們便能很直觀的認識到格點作圖的局限性，即格點作圖隻能處理特殊的問題.

我不想用具體的題目去闡述格點作圖能夠解決哪些問題，不能解決哪些問題. 讓我們做一些更加形而上的工作，從更抽象的角度解釋下格點作圖能夠解決哪些問題.

在進行解釋工作之前，我們先定義幾個新的概念.

• 有理線段：單個網格長度視為1，若一條線段的長度為有理數，則稱其為有理線段.
• 有 理 角：若一個角的正切值為有理數，則稱這個角為有理角.
• 有理角度：有理角對應的角度即為有理角度.
• 傾 斜 角：在網格圖中，直線l向上的方向與右邊水平網格線的所成的夾角為傾斜角.
• 有理直線：若直線的傾斜角為有理角，則稱這條直線為有理直線.
• 二階有理角：角度本身為有理角，且其半角也是有理角.
• 有理網格線：距離格點水平距離為有理長度的且與網格線水平或垂直的直線

從線段和角度的視角

1. 格點作圖能畫出水平或豎直方向任意有理線段
2. 格點作圖能畫出任意有理角

從三大變換的視角

1. 平移：格點作圖可以對任意點進行水平or豎直任意有理長度的平移
2. 對稱：格點作圖可以對任意點進行關于任意有理直線的對稱操作
3. 旋轉：格點做圖可以對任意點進行任意二階有理角的旋轉操作

有了上述的總結，我們便可以輕松認識到哪些問題是無法使用格點做圖去解決的，在此舉幾個簡單的例子，比如畫一個60度的角或者水平or豎直方向上畫一個根号5長度的線段.

1. 水平or豎直方向上畫任意有理長度

圖1橙色線段為三分之一，圖2橙色線段為四分之三

豎直方向有理長度畫法同理易得，在此不做贅述

訣竅：利用相似和比例線段相關知識，綜合使用“A型相似”或者“X型相似”.

1. 任意點關于任意有理網格線的對稱點

上圖為作點A關于綠色的有理網格線的對稱點A'

豎直方向有理網格線的作法同理易得，在此不做贅述.

訣竅：兩線相交可定點，故作直線關于網格線的對稱來确定對稱點，而直線的對稱又通過特殊點關于網格線對稱進行表述.

1. 任意點關于任意有理網格線的垂線或者平行線

上圖為作點A關于綠色的有理網格線的垂線AA'

過點A作綠色網格線平行線的作法同理易得，在此不做贅述.

訣竅：對稱點相連即可得平行or垂直

1. 任意二階有理角的角平分線

上圖為作有理角∠ABC的角平分線BD

訣竅：觀察可知$\tan \angle ABC=\frac{3}{4}$，根據正切三角函數二倍角公式可得$\tan \angle CBD=\frac{1}{3}$

1. 平移：任意點進行水平or豎直方向上任意有理長度的平移

上圖為作點A向右平移1個單位長度的點A'

豎直方向平移的作法同理易得，在此不做贅述.

訣竅：兩線相交可定點. 根據(三)可作過點A的平行線，同時結合過點A的藍色直線平移便可得到A'. 藍色直線的平移轉化成特殊點的平移.

1. 任意線段取任意有理等分點

上圖為取任意線段AB的三等分點O

訣竅：由(五)可知，可作任意點關于任意有理長度在水平或者豎直方向的平移，所以取線段AB的三等分點構建X型相似即可. 點A往下平移1個單位長度變成A'，點B往上平移兩個單位長度變成B'.

1. 對稱：任意點進行關于任意有理直線的對稱操作

上圖為作點A關于綠色有理直線(傾斜角正切值為2)的對稱點A'

其他有理直線的作法同理，在此不做贅述.

訣竅：兩線相交可定點. 找到兩個特殊的網格點，先做他們關于綠色有理直線的對稱點，然後分别作這兩個特殊點與A的連線，通過這兩條連線的對稱，來找到A的對稱點.

1. 旋轉：任意點進行任意二階有理角的旋轉操作

上圖為将點A繞點O逆時針旋轉α，且α=∠COD

訣竅：先做出∠COD的角平分線OE，然後作A關于直線OE的對稱點K點，緊接着作K關于OC的對稱點A'

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!