這一講，我們繼續《幾何原本》第6卷“相似圖形”中命題4的學習。
該命題證明了相似三角形對應邊成比例。
命題4:在各角對應相等的三角形中，夾等角的邊成比例，且等角的對邊為相對應的邊。已知ABC和DCE為各角對應相等的三角形，設角ABC等于角DCE、角BAC等于角CDE，角ACB等于角CED。
目标:證明在三角形ABC和三角形DCE中，夾等角的邊成比例，且等角所對的邊是對應邊。
證明:
1、将BC、CE置于同一直線上。因為角ABC與角ACB之和小于兩直角【第1卷 命題17】，角ACB等于角DEC，所以角ABC與角DEC之和小于兩直角，因此，BA與ED 的延長線可以相交【公設5】，将二者延長交于F點。
說明:該步驟運用了第1卷命題17的結論，命題17用現代的數學語言表述如下:
在任意三角形中，任何兩角之和小于兩直角和。
2、因為角DCE等于角ABC，所以BF平行于CD。【第1卷 命題28】
3、又因為角 ACB 等于角DEC，所以AC平行于FE。【第1卷 命題28】
4、因此FACD為平行四邊形，所以FA等于DC，AC等于FD。【第1卷 命題34】
5、因為AC平行于三角形 FBE的一邊FE，所以BA比AF等于BC比CE。【第6卷 命題2】
6、因為AF等于 CD，所以BA比CD等于BC比CE，由更比例可得，AB比BC等于DC比CE。【第5卷 命題16】
說明:該步驟運用了第5卷命題16的結論，命題16用現代的數學語言表述如下:
如果a/b=c/d，那麼a/c=b/d
7、又因為CD平行于BF，因此BC比CE等于FD比DE。【第6卷 命題2】
8、因為FD等于AC，因此BC比CE等于AC比DE，由更比例可得， BC比CA等于CE比ED。【第5卷 命題16】
9、因為已經證明了，AB比BC等于 DC比CE，BC比CA等于CE比ED，所以通過首末比可得，BA比AC等于CD比DE。【第5卷 命題22】
說明:該步驟運用了第5卷命題22的結論，命題22用現代的數學語言表述如下:
如果有a、b、c與d、e、f兩組量，且滿足a/b=d/e，b/c=e/f，那麼a/c=d/f。
10、綜上，在各角對應相等的三角形中，夾等角的邊成比例，且等角的對邊為相對應的邊。
好了，這一講就到這裡了。
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