李建軍（山西省晉中市壽陽一中）

陳國際（山西省晉城市晉城一中）

薛紅霞（山西省教育科學研究院）

摘要：從考點、題量、題型、分值，難度、内容特點，考查的思想方法，文理科的差異等幾個方面總體概括了概率統計和計數原理的考查特點．從命題的課标依據、總體思路、題面形式、考核範圍等方面進行了分析，并就2015年典型題進行了實例剖析．縱向分析了近年來命題的變式，對高考數學試題本專題的命題趨勢進行了分析．最後還配套提供了相應的模拟題．

關鍵詞：概率統計；計數原理；命題規律

統計概率及計數原理在各省市曆年的高考中都扮演着看似容易，但有時又比較難得分的角色．以史為鑒，可以知興替，所以要橫縱交錯地研究命題規律，即一方面要看曆屆的高考題，另一方面要全面地分析2015年各省市的高考題，這樣縱橫交錯，經緯互織，方能深刻地了解命題的特點和規律．下面就本着這樣的思想對統計概率及計數原理進行分析．

一、考題考點分析

經統計，2015年高考數學試題（卷）除江蘇不分文理科外，其餘文、理卷共有30份，分别是新課程全國Ⅰ卷、Ⅱ卷，北京卷，天津卷，上海卷，重慶卷，廣東卷，福建卷，浙江卷，四川卷，湖南卷，湖北卷，安徽卷，陝西卷，山東卷．分析以上試題并統計，發現統計與概率部分，除浙江卷（浙江《考綱》明确不做要求）外都有考查．計數原理由于文理科的差異，文科卷隻有上海卷有考查，其他省份沒有涉及．理科同樣除浙江卷外都有對相關知識的考查．

【評析】此題是在2015年考試過程中引起蝴蝶效應的始作俑者，用學生的話來說就是“怪”，他們在做這個題目時費了較長的時間，并且影響了對後續題目的解答，甚至由此導緻了對後續科目考試的不良影響．山西省考生做此題的難度系數是理科0.35，文科0.15，與曆年統計概率的難度相比大幅度下降．2014年新課程全國Ⅰ卷第19題的難度系數是0.311；文科第19題是0.534；2014年新課程全國Ⅱ卷的數據分别為理科第18題0.432；文科第18題0.624；2013年全國卷第19題的理科、文科的難度系數為0.297,0.158．2012年全國卷第18題理科、文科的難度系數為0.316,0.270．參照以往每年的情況來看，這樣的難度系數還是比較正常的，但是文科的難度系數偏低．為什麼會出現這樣的情況？學生第一眼看到這個題目時，首先的感覺是不适應，在考場上費了比較多的時間，影響了對整個試卷的解答．事實上，在各省、市的高考試卷中，對線性回歸已經考查過多次，最早的一次是2007年廣東卷文科和理科的第17題。

④考查統計的不确定性，回歸統計學習的本質。

統計是以确定性數學為工具研究不确定現象的，但是很多教學和考試中隻注重對統計中的計算圖表的應用的考查，事實上其考查的都不是統計的核心．面對同一組統計數據，不同的決策者得到不同的決斷，這就是統計．例如，2009年全國卷文、理科第18題和文科第19題，該題考查利用頻率分布直方圖對總體進行估計，這也是符合時代特點，符合課标和教材的考查方式。此外，2013年新課程全國Ⅰ卷文、理科第18題，2014年文科Ⅱ卷19題考查根據莖葉圖給出最後的判斷，結論可能是一緻的，但是理由可以是根據不同的統計量給出的．這些題目都顯示了統計與确定性數學本質上的不同．

（2）注重與其他内容的結合，考查學生綜合分析問題的能力。

例如，與分段函數相結合．高考中對分段函數的考查在此處找到了一個很好的融合點．又如，2012年新課程全國卷文、理科第18題，2013年新課程全國Ⅰ卷文、理科第19題，這幾道題首先需要建立函數關系，之後再利用函數關系解題；2014年新課程全國Ⅰ卷文、理科第19題，在最後一小題處要和函數結合求最值．此外，2007年理科第20題，2010年理科第13題，文科第14題則是将随機模拟實驗與定積分相結合，2007年文科第20題與方程是否有實根相結合等．由此可見，高考對于統計概率的考查總是能與相關的知識緊密結合．

（3）以簡單題或中等難度題為考查的難度定位。

上面所舉的例子都是在統計概率這個闆塊，其考查難度，除部分特殊情況低于0.3，出現難題之外，大部分題目的難度大于0.3．當然文、理科還是有一定差異的。例如，由上所給數據可以看出，文科學生在解答統計概率的大題時并不占優勢，其難度系數連續幾年都在0.150左右．

2013年新課程全國Ⅰ卷理科第14題，考查古典概型，難度系數0.532；新課程全國Ⅱ卷理科第9題，考查二項式定理，難度系數0.700；

2013年新課程全國Ⅰ卷文科第13題，考查古典概型，難度系數0.813；新課程全國Ⅱ卷文科第3題，考查古典概型，難度系數0.883；

2014年新課程全國Ⅰ卷理科第5題，考查排列組合與概率，難度系數0.779；新課程全國Ⅱ卷理科第5題考查相互獨立事件的概率，難度系數0.382；新課程全國Ⅱ卷理科第13題考查二項式定理，難度系數0.719；

2014年新課程全國Ⅰ卷文科第13題，考查古典概型，難度系數0.773；新課程全國Ⅱ卷文科第13題考查古典概型，難度系數0.808。

從這些數據可以看出，對于本部分内容進行考查的小題基本上屬于容易題，個别題目除外．

這與很多教師經驗中高難度的基于排列組合計數原理複雜計算基礎上的概率是完全不同的．如果不了解這些特點，不把握新課标的要求，不依據新的考綱，不參考課标卷曆年的試題，那麼必然會出現以上所談情況．

3．2015年典型題分析

（1）考查定理的形成過程。

【評析】此題緊扣課标，考查根據統計圖獲得統計信息，做出估計的意識和能力，這是現代公民必備的素養．同時，基于統計數據進行概率計算，這是課标和考綱的要求，也是這些年的一種典型考查方式．新課程全國Ⅱ卷理科第18題與此題基本類似．類似的題目還有2015年安徽卷文科第17題，2015年北京卷文科第17題，2015年理科第16題，2015年福建文科第18題，2015年廣東文科第17題，2015年湖北文科第14題等．

（4）基于排列組合求概率.

例5 （2015年福建卷·理18）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品後即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各随機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若隻有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.

（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；

（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數為X，求X的分布列和數學期望.

【評析】此題以有獎促銷為背景，以相互獨立事件的概率，互斥事件的概率，分布列和數學期望這些主要内容為載體命制而成．其主要考查了學生在統計中的計算技能．這種類型的試題在各省市命制的高考題中經常見到，延續了大綱卷的考查特點，體現了計數原理的内容與概率統計的結合．類似的題目還有安徽卷理科第17題，天津卷理科第16題，四川卷理科第17題，湖南卷理科第18題等．有些文科試卷雖然不用到計數原理，不考查分布列，但是其命制思路與理科題本質是一緻的，隻是用計數的方法，考查均值等．

（5）考查系統抽樣，正态分布.

【評析】此例以一個工廠工人年齡為背景，考查系統抽樣的操作方法，及平均值方差的計算，并依隐含了對正态分布的考查．對于系統抽樣的考查在曆年的高考試題中常見，但多以直接考查結果為主，此題則反其道而行之考查系統抽樣的操作過程．對于正态分布的考查也以直接考查為主，類似的題目有山東卷理科第8題，福建卷理科第16題．

（6）對計數原理排列組合的考查以簡單題為主。

例7 （2015年四川卷·理6）用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重複數字的五位數，其中比40000大的偶數共有（ ）.

（A）144個 （B）120個 （C）96個 （D）72個

【評析】此題直接考查排列數公式的應用．這種考法在這些年各套試題這也是一種常見的形式．此類題目屬于簡單題或者中等難度題．

4．命題趨勢分析

綜觀曆年的高考試題，橫向分析2015年各省市的高考試題，展望明年的高考，其命題趨勢應該具有如下特點．

（1）依據考綱命制試題。

這是命題的基本依據，也是命題的大趨勢．對于考綱的理解一方面是顯性的具體知識，另一方面是其内涵的體現．此外還要注意不同省市的試題，對考綱的同一個要求，在考題中體現的側重點是不同的，所以在這個大原則下，看考查規律一定要将考綱和曆年的具體試題結合起來．

（2）注重基礎，考查應用。

本部分内容的高考試題都是以基礎題為主，這是各省市試題的一個共同特點．本部分内容是與實際應用聯系的很好的載體，所以高考常在這部分考查應用能力，有時會出現因為情境不熟悉，使得轉化受到阻礙，從而導緻難題的現象．

（3）試題數量應該保持。

高考試題的數量，大部分省、市會保持現有的狀态，即一個大題，2至3個小題．

（4）計數原理的相關内容分兩種方式考查。

對于計數原理的考查不是每年都出現，其會與排列、組合，二項式定理交替出現．對于排列組合的考查一種方式是直接考查；另一種方式是在計算分布列中用到．

（5）基于統計的概率計算和基于排列組合的概率計算分布在不同的試卷中。

這是兩種考查方向，在全國課标卷中大于80%的試題是考查基于統計計算概率，；而在其他試卷中，基于排列組合計算概率所占的比例較大．

（6）文科與理科試題有差異。

這一點是必然的，這是文理科課标和考綱決定的．但是文、理科試題經常會以姊妹題的形式出現．例如，理科考查期望，文科考查平均值；理科考查排列組合計數，然後将數字簡化後文科考查直接計數．所以文、理科有些試題很像，但是因為數據的改變，其解決辦法難易度就會發生本質的變化．

（7）關于分布列及相關問題的考查是主流，統計案例等也會間隔出現。

在大題的考查中，多以分布列為載體進行考查，但是對于其他知識的考查也會穿插出現，因此不能忽視每一個内容，備考還是要全面．

三、模拟題欣賞

不論是在哪一種教學模式下，對于知識都需要通過一定量的習題解答來鞏固和提高．編制模拟題對教學有導向作用，因此編制模拟題的過程就是研究教材和課标、研究考綱和高考的過程，解答這些題目是這些研究的具體表達，隻有能成功命制和解答模拟題，才能把握教學規律，有的放矢地高效備考．下面的模拟題供大家參考．

育出版社.

[2]教育部考試中心。高中文科試題分析（課程标準試驗·2011版）【M】。北京：高等教 育出版社.

[3]教育部考試中心。高中理科試題分析（課程标準試驗·2013版）【M】。北京：高等教育出版社.

[4]教育部考試中心。高中文科試題分析（課程标準試驗·2013版）【M】。北京：高等教育出版社.

[5]教育部考試中心。高中理科試題分析（課程标準試驗·2014版）【M】。北京：高等教育出版社.

[6]教育部考試中心。高中文科試題分析（課程标準試驗·2014版）【M】。北京：高等教育出版社.

[7] 周遠方，餘錦銀. 2014年高考“概率與統計、計數原理”的專題分析【J】，中國數 學教育（高中版）,2014（7/8）106-119.

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