支持大量多維數組和矩陣運算的 NumPy 軟件庫是許多機器學習開發者和研究者的必備工具，本文将通過直觀易懂的圖示解析常用的 NumPy 功能和函數，幫助你理解 NumPy 操作數組的内在機制。

NumPy 是一個基礎軟件庫，很多常用的 Python 數據處理軟件庫都使用了它或受到了它的啟發，包括 pandas、PyTorch、TensorFlow、Keras 等。理解 NumPy 的工作機制能夠幫助你提升在這些軟件庫方面的技能。而且在 GPU 上使用 NumPy 時，無需修改或僅需少量修改代碼。

NumPy 的核心概念是 n 維數組。n 維數組的美麗之處是大多數運算看起來都一樣，不管數組有多少維。但一維和二維有點特殊。本文分為三部分：

1. 向量：一維數組

2. 矩陣：二維數組

3. 三維及更高維

本文參考了 Jay Alammar 的文章《A Visual Intro to NumPy》并将其作為起點，然後進行了擴充，并做了一些細微修改。

NumPy 數組和 Python 列表

乍一看，NumPy 數組與 Python 列表類似。它們都可作為容器，能夠快速獲取和設置元素，但插入和移除元素會稍慢一些。

NumPy 數組完勝列表的最簡單例子是算術運算：

除此之外，NumPy 數組的優勢和特點還包括：

更緊湊，尤其是當維度大于一維時；

當運算可以向量化時，速度比列表更快；

當在後面附加元素時，速度比列表慢；

通常是同質的：當元素都是一種類型時速度很快。

這裡 O(N) 的意思是完成該運算所需的時間和數組的大小成正比，而 O*(1)（即所謂的「均攤 O(1)」）的意思是完成運算的時間通常與數組的大小無關。

向量：一維數組

向量初始化

為了創建 NumPy 數組，一種方法是轉換 Python 列表。NumPy 數組類型可以直接從列表元素類型推導得到。

要确保向其輸入的列表是同一種類型，否則你最終會得到 dtype=’object’，這會影響速度，最終隻留下 NumPy 中含有的語法糖。

NumPy 數組不能像 Python 列表一樣增長。數組的末端沒有留下任何便于快速附加元素的空間。因此，常見的做法是要麼先使用 Python 列表，準備好之後再将其轉換為 NumPy 數組，要麼是使用 np.zeros 或 np.empty 預先留下必要的空間：

通常我們有必要創建在形狀和元素類型上與已有數組匹配的空數組。

事實上，所有用于創建填充了常量值的數組的函數都帶有 _like 的形式：

NumPy 中有兩個函數能用單調序列執行數組初始化：

如果你需要類似 [0., 1., 2.] 這樣的浮點數數組，你可以修改 arange 輸出的類型：arange(3).astype(float)，但還有一種更好的方法。arange 函數對類型很敏感：如果你以整型數作為參數輸入，它會生成整型數；如果你輸入浮點數（比如 arange(3.)），它會生成浮點數。

但 arange 并不非常擅長處理浮點數：

在我們眼裡，這個 0.1 看起來像是一個有限的十進制數，但計算機不這麼看。在二進制表示下，0.1 是一個無限分數，因此必須進行約分，也由此必然會産生誤差。也因為這個原因，如果向 arange 函數輸入帶分數部分的 step，通常得不到什麼好結果：你可能會遇到差一錯誤 (off-by-one error)。你可以使該區間的末端落在一個非整數的 step 數中（solution1），但這會降低代碼的可讀性和可維護性。這時候，linspace 就可以派上用場了。它不受舍入的影響，總能生成你要求的元素數值。不過，使用 linspace 時會遇到一個常見的陷阱：它統計的是數據點的數量，而不是區間，因此其最後一個參數 num 通常比你所想的數大 1。因此，上面最後一個例子中的數是 11，而不是 10。

在進行測試時，我們通常需要生成随機數組：

向量索引

一旦你的數組中有了數據，NumPy 就能以非常巧妙的方式輕松地提供它們：

除了「花式索引（fancy indexing）」外，上面給出的所有索引方法都被稱為「view」：它們并不存儲數據，也不會在數據被索引後發生改變時反映原數組的變化情況。

所有包含花式索引的方法都是可變的：它們允許通過分配來修改原始數組的内容，如上所示。這一功能可通過将數組切分成不同部分來避免總是複制數組的習慣。

Python 列表與 NumPy 數組的對比

為了獲取 NumPy 數組中的數據，另一種超級有用的方法是布爾索引（boolean indexing），它支持使用各類邏輯運算符：

any 和 all 的作用與在 Python 中類似，但不會短路。

不過要注意，這裡不支持 Python 的「三元比較」，比如 3<=a<=5。

如上所示，布爾索引也是可寫的。其兩個常用功能都有各自的專用函數：過度重載的 np.where 函數和 np.clip 函數。它們的含義如下：

向量運算

NumPy 在速度上很出彩的一大應用領域是算術運算。向量運算符會被轉換到 C 層面上執行，從而避免緩慢的 Python 循環的成本。NumPy 支持像操作普通的數那樣操作整個數組。

與 Python 句法一樣，a//b 表示 a 除 b（除法的商），x**n 表示 xⁿ。

正如加減浮點數時整型數會被轉換成浮點數一樣，标量也會被轉換成數組，這個過程在 NumPy 中被稱為廣播（broadcast）。

大多數數學函數都有用于處理向量的 NumPy 對應函數：

标量積有自己的運算符：

執行三角函數時也無需循環：

我們可以在整體上對數組進行舍入：

floor 為舍、ceil 為入，around 則是舍入到最近的整數（其中 .5 會被舍掉）

NumPy 也能執行基礎的統計運算：

NumPy 的排序函數沒有 Python 的排序函數那麼強大：

Python 列表與 NumPy 數組的排序函數對比

在一維情況下，如果缺少 reversed 關鍵字，那麼隻需簡單地對結果再執行反向，最終效果還是一樣。二維的情況則會更困難一些（人們正在請求這一功能）。

搜索向量中的元素

與 Python 列表相反，NumPy 數組沒有索引方法。人們很久之前就在請求這個功能，但一直還沒實現。

Python 列表與 NumPy 數組的對比，index() 中的方括号表示可以省略 j 或同時省略 i 和 j。

一種查找元素的方法是 np.where(a==x)[0][0]，但這個方法既不優雅，速度也不快，因為它需要檢查數組中的所有元素，即便所要找的目标就在數組起始位置也是如此。

另一種更快的方式是使用 Numba 來加速 next((i[0] for i, v in np.ndenumerate(a) if v==x), -1)。

一旦數組的排序完成，搜索就容易多了：v = np.searchsorted(a, x); return v if a[v]==x else -1 的速度很快，時間複雜度為 O(log N)，但它需要 O(N log N) 時間先排好序。

事實上，用 C 來實現它進而加速搜索并不是問題。問題是浮點比較。這對任何數據來說都不是一種簡單直接可用的任務。

比較浮點數

函數 np.allclose(a, b) 能在一定公差下比較浮點數數組。

函數 np.allclose(a, b) 的工作過程示例。并沒有萬能方法！

np.allclose 假設所有被比較的數都在典型的 1 的範圍内。舉個例子，如果要在納秒級的速度内完成計算，則需要用默認的 atol 參數值除以 1e9：np.allclose(1e-9, 2e-9, atol=1e-17) == False.

math.isclose 則不會對要比較的數進行任何假設，而是依賴用戶給出合理的 abs_tol 值（對于典型的 1 的範圍内的值，取默認的 np.allclose atol 值 1e-8 就足夠好了）：math.isclose(0.1 0.2–0.3, abs_tol=1e-8)==True.

除此之外，np.allclose 在絕對值和相對公差的公式方面還有一些小問題，舉個例子，對于給定的 a 和 b，存在 allclose(a, b) != allclose(b, a)。這些問題已在（标量）函數 math.isclose 中得到了解決，我們将在後面介紹它。對于這方面的更多内容，請參閱 GitHub 上的浮點數指南和對應的 NumPy 問題（https://floating-point-gui.de/errors/comparison/）。

矩陣：二維數組

NumPy 曾有一個專門的 matrix 類，但現在已經棄用了，所以本文會交替使用「矩陣」和「二維數組」這兩個術語。

矩陣的初始化句法與向量類似：

這裡必須使用雙括号，因為第二個位置參數是 dtype（可選，也接受整數）。

随機矩陣生成的句法也與向量的類似：

二維索引的句法比嵌套列表更方便：

view 符号的意思是當切分一個數組時實際上沒有執行複制。當該數組被修改時，這些改變也會反映到切分得到的結果上。

axis 參數

在很多運算中（比如 sum），你需要告訴 NumPy 是在列上還是行上執行運算。為了獲取适用于任意維度的通用符号，NumPy 引入了 axis 的概念：事實上，axis 參數的值是相關問題中索引的數量：第一個索引為 axis=0，第二個索引為 axis=1，以此類推。因此在二維情況下，axis=0 是按列計算，axis=1 是按行計算。

矩陣算術運算

除了逐元素執行的常規運算符（比如 、-、、/、//、*），這裡還有一個計算矩陣乘積的 @ 運算符：

我們已在第一部分介紹過标量到數組的廣播，在其基礎上進行泛化後，NumPy 支持向量和矩陣的混合運算，甚至兩個向量之間的運算：

二維數組中的廣播

行向量和列向量

正如上面的例子所示，在二維情況下，行向量和列向量的處理方式有所不同。這與具備某類一維數組的 NumPy 實踐不同（比如二維數組 a— 的第 j 列 a[:,j] 是一個一維數組）。默認情況下，一維數組會被視為二維運算中的行向量，因此當用一個矩陣乘以一個行向量時，你可以使用形狀 (n,) 或 (1, n)——結果是一樣的。如果你需要一個列向量，則有多種方法可以基于一維數組得到它，但出人意料的是「轉置」不是其中之一。

基于一維數組得到二維數組的運算有兩種：使用 reshape 調整形狀和使用 newaxis 進行索引：

其中 -1 這個參數是告訴 reshape 自動計算其中一個維度大小，方括号中的 None 是用作 np.newaxis 的快捷方式，這會在指定位置添加一個空 axis。

因此，NumPy 共有三類向量：一維向量、二維行向量和二維列向量。下圖展示了這三種向量之間的轉換方式：

一維向量、二維行向量和二維列向量之間的轉換方式。根據廣播的原則，一維數組可被隐含地視為二維行向量，因此通常沒必要在這兩者之間執行轉換——因此相應的區域被陰影化處理。

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