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平面幾何世界級難題

生活更新时间:2025-02-03 17:14:10

平面幾何世界級難題?本人接受挑戰，提供對于以下“史詩級”難題的一種平面幾何解法以及一種代數解法，我來為大家科普一下關于平面幾何世界級難題?以下内容希望對你有幫助!

平面幾何世界級難題

引言

本人接受挑戰，提供對于以下“史詩級”難題的一種平面幾何解法以及一種代數解法。

挑戰鍊接：

一道史詩級的角格點難題平幾愛好者都來瞧瞧

問題

已知：正中有一點滿足，.

求證：

平面幾何解法

證明：如下圖所示。點繞點逆時針旋轉，得到三點，點為點在上的射影，點為點在上的射影，交于點，為中點，連接,,,.

首先，

而由可知

故是等腰三角形，從而

又因為

故，從而

所以

由

進而

因為

故

考慮到

由可知在上，從而

由此我們導出一對相似三角形：

這是由于它們的兩個銳角都是故

再由

可以導出一對相似三角形：

可以看作以為圓心為半徑的四點，由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半可知：

代數解法

證明：設在中使用正弦定理得：

在中使用正弦定理得：

而由可得：

而

從而

故

由積化和差公式得：

即

由和差化積公式得：

由的取值範圍可得：

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