前面不定積分是求原函數，而今天的定積分是求和式極限，将兩者關聯起來的是牛頓-萊布尼茲公式。定積分常用于求平面圖形的面積，變速直線運動路程和變力做的功。

第1節：定積分的概念和性質

• 定義：設函數f(x)在區間[a,b]上有定義，J∈R，若對任意ε>0 都存在σ>0，使得對[a,b]的任何分割T:a=x0<x1<x2<...<xn-1<xn=b，以及取任意介點值{ξi|xi-1≤ξi≤xi}，隻要||T||<σ，就有|Σ(f(ξi)Δxi)-J|<ε，那麼就稱f(x)在[a,b]上可積，區間稱為積分區間，a,b分别稱為積分下，上限。也有稱為黎曼可積，黎曼積分，黎曼和。
• 可積的必要條件定理：f(x）在[a,b]上可積，則函數在該區間必有界
• 定積分線性性質定理，與不定積分很像：設f(x) ,g(x)在I上都在[a,b]上可積，α，β為兩任意實常數，則αf(x) βg(x)在區間上也可積 且∫[αf(x) βg(x)]dx =α∫f(x)dx β∫g(x)dx |積分上限b,積分下限a
• 可積的充要條件定理：f(x）在[a,b]上可積 <==>對任意c∈(a,b)，f(x)在[a,c]與[c,b]上都可積，此時有等式∫f(x) dx |a->b = ∫f(x) dx |a->c ∫f(x) dx |c->b。這個也叫積分區間的有限可加性
• 定理：滿足可積條件下，|∫f(x) dx |a->b | = ∫|f(x)| dx |a->b ，即積分的絕對值 = 函數值的絕對值的積分

第2節：微積分基本定理 ,在這節内容，會感受到函數連續性的重要性

• 變上限定積分與變下限定積分，簡單來說就是積分上限 或者下限 是變量 。型如，F(x)=∫f(t) dt |a->x ，x∈[a,b]
• 定理：若f(x)在[a,b]上可積，則其變上限積分所定義的函數F(x) 在[a,b]上連續。關聯了可積與連續性
• 原函數存在定理：設f(x)在[a,b]上連續，則變上限定積分所定義的函數F(x)是f(x)在[a,b]上的原函數，即F`(x)=d*∫f(t) dt |a->x /dx = f(x) x∈[a,b]。 關聯了原函數與連續性
• 推論：設f(x)在[a,b]上連續，則d*∫f(t) dt |x->b /dx = -f(x)。
• 連續函數的可導且複合函數是有意義的。即積分上限是一個關于x的函數
• 微積分基本定理-牛頓萊布尼茲公式：設f(x)在[a,b]上連續，F(x)是f(x)在[a,b]上的一原函數，即F`(x)=f(x)，則∫f(x) dx |a->b = F(b)-F(a)

第3節：定積分的計算，主要講常見的定積分計算的類型，沒有太多理論性的東西。可以對比不定積分的計算

• 換元法定理：類比不定積分，不過此處條件為，函數f(x)在閉區間[a,b]連續
• 分部積分定理：同樣類比不定積分的分部積分法，此處條件為u(x),v(x)都是在閉區間[a,b]有連續的導函數

第4節：讨論定積分存在的條件

• 布達和的概念，包括布達上和S，布達下和s。其實就是同一分割下，最大 與 最小 的積分和
• 上下和性質定理1：滿足條件的同一分割下，上和是所有積分和的上确界，下和是所有積分和的下确界
• 上下和性質定理2：在分割T下增加分割點所得新分割T`,相比以前，下和遞增，上和遞減
• 上下和性質定理3：任意兩分割組合成一個新分割，新上和不超過之前的任意一個分割的上和，新下和≥之前的任意一個分割的下和
• 上下和性質定理4：對任意兩分割，總有下和不超過上和
• 布達定理：lim s(T)=s ||T||->0 ；lim S(T)=S ||T||->0
• 可積準則1：設f(x)在[a,b]上有界，則f(x)在[a,b] 可積<==> f(x)在[a,b]的上積分=下積分，即S=s
• 可積準則2：設f(x)在[a,b]上有界，則f(x)在[a,b] 可積<==>對任意ε>0,總存在一分割T，使得 S(T)-s(T)<ε
• 可積準則3：設f(x)在[a,b]上有界，則f(x)在[a,b] 可積<==>對任意正數ε，η，總存在一分割T，使得屬于T的所有小區間中，對應于振幅wk`≥ε的那些小區間的總長ΣΔxk`<η
• 可積函數類1：在閉區間連續的函數可積
• 可積函數類2：在閉區間單調的函數可積
• 可積函數類3：在閉區間隻有有限個間斷點的有界函數可積

第5節：積分中值定理

• 積分第一中值定理：設f(x)在[a.b]上連續，則至少存在一點ξ∈(a,b)，使得∫f(x) dx |a->b = f(ξ)(b-a)
• 推廣的積分第一中值定理：設f(x)在[a.b]上連續，g(x)在[a.b]可積且不變号，則至少存在一點ξ∈[a,b]，使得
• ∫f(x)g(x) dx |a->b = f(ξ)∫g(x)dx |a->b
• 積分第二中值定理：設f(x)在[a.b]上可積，g(x)在[a.b]上遞增且g(x)≥0，則存ξ∈[a,b]，使得
• ∫f(x)g(x) dx |a->b = g(b)∫f(x)dx |ξ->b
• 推廣的積分第二中值定理：設f(x)在[a.b]上可積，g(x)在[a.b]單調函數，則存在ξ∈[a,b]，使得
• ∫f(x)g(x) dx |a->b = g(a)∫f(x)dx |a->ξ g(b)∫f(x)dx |ξ->b

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