素數基本規律?這是一系列關于數論的介紹性文章，目的在于推廣數學知識，拓展讀者的數學思維至于為什麼用圖文而不是視頻？圖文有三個優越性：一是圖文數據量小，節省學習時間；二是有助于個人主動思考；三是文字裡的關鍵字，可以方便讀者查閱相關資料，下面我們就來聊聊關于素數基本規律?接下來我們就一起去了解一下吧!

素數基本規律

這是一系列關于數論的介紹性文章，目的在于推廣數學知識，拓展讀者的數學思維。至于為什麼用圖文而不是視頻？圖文有三個優越性：一是圖文數據量小，節省學習時間；二是有助于個人主動思考；三是文字裡的關鍵字，可以方便讀者查閱相關資料。

有多少個素數呢？我們已知存在無窮多個素數，也存在無窮多個合數，哪個更多？盡管這兩種數都有無窮多個，我們仍可使用計數函數比較它們。

首先，從能說明基本思想的比較容易的問題着手，拿偶數來試驗、發現規律，直覺告訴我們近一半數是偶數。通過觀察偶數計數函數

需要将這種直覺建立在堅實的基礎之上，上述E(x)表示不超過x的正偶數個數，

例如，

E(3) = 1，E(4) = 2， E(5) = 2，...，E(100) = 50，E(101) = 50,...

考察比率E(x)/x:

比率E(x)/x總是等于1/2肯定不成立，但是當x很大時， E(x)/x接近于1/2是成立的。如果了解一點微積分知識，你會意識到我們在設法說明

這個陳述恰說明x越來越大時E(x)/x與1/2間的距離越來越接近于0。

對素數做相同的事情。素數計數函數被稱為:

例如= 4,這是因為小于10的素數是2, 3,5,7。下表給出了(x)與比率n(x)/x的值。

似乎x越來越大時n(x)/x越來越小，假設這種模式繼續下去，我們會說“大多數整數不是素數”，這就進一步提出n(x)/x以怎樣的速度減小的問題。下述著名結果給出答案，它是19世紀數論取得的最高成就之一。

定理 (素數定理)當x很大時，小于x的素數個數近似等于x/In(x)，即

In(x)(稱為x的自然對數)是以e=2.718 2818…為底x的對數。下面是比較n(x)與x/In(x)值的表:

簡史 大約在1800年通過檢查類似的但比較短的表，高斯與勒讓德獨立地提出素數定理成立的猜想，幾乎過去一個世紀還沒有人加以證明。1896年阿達馬(Jacques Hadamard)與Ch. dela vallée Poussin各自努力去證明素數定理。正如狄利克雷定理的證明要用複分析方法(即複變函數論)一樣，在1948年埃德斯(Paul Erdös)與塞爾伯格(Atle Selberg)發現了素數定理的“初等”證明，他們的證明是初等的僅指不需要複分析方法，并不意味着容易。

使人有點驚訝的是證明有關整數的定理，如狄利克雷定理與素數定理，數學家不得不使用微積分作為工具，被稱為解析數論的數學分支專用微積分方法證明數論定理。

表格在發現規律時的重要性。

有許多著名的涉及素數的未解問題,我們在此叙述三個這樣的問題及其簡史。

猜想 (哥德巴赫猜想) 每個偶數可表示成兩個素數之和。

哥德巴赫在1742年7月7日給歐拉的一封信中提出這個猜想，不難驗證哥德巴赫猜想對前幾個偶數成立，例如，

4 = 2 2, 6 = 3 3, 8 = 3 5, 10 = 3 7, 12 = 5 7,

14 = 3 11, 16 = 3 13, 18 = 5 13, 20 = 7 13,.

這就對直到20的偶數驗證了哥德巴赫猜想,使用計算機人們已對以下的偶數驗證了哥德巴赫猜想，數學家甚至能夠證明與哥德巴赫猜想相似的結論，這是支持哥德巴赫猜想的有力證據。 1937年,維諾格拉朵夫(I. M. Vinogradov)證明了每個充分大的奇數n可表成三個素數之和。1966年,陳景潤證明了每個充分大的偶數可表成p a的形式,其中p是素數, a是素數或兩個素數的乘積。

猜想 (孿生素數猜想) 存在無窮多個素數p使得p 2也是素數.

素數很不規則，相鄰兩個素數間常常會有很大的間隙。例如，素數370261之後緊接着111個合數。然而，也有很多素數p緊随另一個素數p 2。這些數對被稱為孿生素數。孿生素數猜想說明孿生素數表沒有結束，前幾個李生素數是(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), (59,61), (71,73),(101,103) (107,109), (137,139), (149,151), (179,181), (191,193),(197,199), (227 ,229), (239,241), (269,271), (281,283), (311,313).

猜想 (N 1猜想) 存在無窮多個形如的素數.

如果N是奇數，則是偶數，所以它不可能是素數(除非N=1)。然而，如果N是偶數，則似乎經常是素數。 猜想說明這種情況無窮次發生，前幾個這種形式的素數是

= 5, = 17, = 37, = 101.

總結，

1. 需要理解圖表的重要作用，在圖表中發現規律。

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