幂運算法則的逆向運用

幂運算法則指的是：

（1）同底數幂相乘，底數不變，指數相加，即a^m×a^n=a^(m n)；

（2）同底數幂相除，底數不變，指數相減，即a^m÷a^n=a^(m-n)；

（3）幂的乘方，底數不變，指數相乘，即(a^m)^n=a^(mn)；

（4）積的乘方等于乘方的積，(ab)^n=a^nb^n.

逆向運用這些法則就是：

（1）a^(m n)=a^m×a^n，即指數和的幂等于同底數幂的積；

（2）a^(m-n)=a^m÷a^n；即指數差的幂等于同底數幂的商；

（3）a^(mn)=(a^m)^n；即指數積的幂等于幂的乘方；

（4）a^nb^n=(ab)^n，即同指數幂的積等于積的幂.

逆向運用幂運算法則可以解決一些具有一定難度的幂的問題.請看：

例1 已知2^a=6，2^b=3，

則2a-b 2=______.

分析與解：逆向運用幂運算法則，得：

2^(a-b 2)=2^a÷2^b×2^2=6÷3×4=8.

例2（2021·廣東中考題）

已知9^m=3，27^n=4，

則3^(2m 3n)=（ ）

A．1 B．6 C．7 D．12

分析與解：3^(2m 3n)是指數積與和的幂，逆向運用幂的運算法則，把它化為幂的乘方及幂的乘積，得：

3^(2m 3n)=3^(2m)×3^(3n)

=(3^2)^m×(3^3)^n

=9^m×27^n=3×4=12，

故選D.

例3（2021·四川達州中考題）

已知a，b滿足等式

a^2 6a 9 √(b-1/3)=0，

則a^2021b^2020=___________．

分析與解：将已知等式變形，化為

(a 3)^2 √(b-1/3)=0，

由非負數性質，得：

a=-3，b=1/3，所以ab=-1，

所以a^2021b^2020=a×a^2020b^2020

=a×(ab)^2020=（-3）×(-1)^2020=-3.

例4 如果2^a=6，2^b=3，

則a-b等于（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

分析與解：因為a，b是幂的指數，欲求a-b的值，先考慮構造一個指數為a-b的幂，由于已知幂的底數為2，所以構造底數為2，指數為a-b的幂，然後再求它的值.

由已知，得：

2^(a-b)=2^a÷2^b=6÷3=2，

即2a-b=2，

比較兩邊的指數，得：a-b=1，

故選A.

例5 已知a^x=ab^2，a^y=a^2/b，

則x 2y的值等于_________.

分析與解：構造一個以a為底數，x 2y為指數的幂，得：

a^(x 2y)=a^x×a^(2y)

=ab^2×(a^y)^2

=ab^2×a^4/b^2=a^5，

即a^(x 2y)=a^5，

比較兩邊的指數，得：x 2y=5.

例6 已知3^x=108，3^y=6，則x，y滿足的關系式是（ ）

A.x-y=1 B.x-y=2

C.x-2y=1 D.x-2y=2

分析與解：依次構造以3為底，指數分别為x-y，x-2y的幂，再逆向運用幂的運算法則進行計算.

3^(x-y)=3^x÷3^y

=108÷6=18≠31，≠32，

所以x-y≠1，≠2，

可排除A和B；

3^(x-2y)=3^x÷3^(2y)=108÷(3^y)2

=108÷6^2=3=3^1，

所以2x-y=1，故選C.

例7 已知5^m=100，5^n=40，則m，n滿足的關系式是_______________.

分析與解：構造一個以5為底的幂，該幂經過計算後能夠得到一個仍然是以5為底的幂，然後通過比較幂的指數而獲解.顯然，這樣的幂隻能來自已知的兩個等式相除，約去所有非5的因數而獲得.

由于100含有非5的因數2^2，40含有非5的因數2^3，它們相除後要能夠約掉，必須是把2^2立方，把2^3平方，因此，

把5^m=100=2^2×5^2的兩邊立方，得：

5^(3m)=2^6×5^6，

把5^n=40=2^3×5的兩邊平方，得：

5^(2n)=2^6×5^2，

所以5^(3m-2n)

=5^(3m)÷5^(2n)

=2^6×5^6÷（2^6×5^2）

=5^4，

即5^(3m-2n)=5^4，

所有m，n滿足的關系式是3m-2n=4.

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