了解球、棱柱、棱錐、台的表面積和體積的計算公式.

一、柱體、錐體、台體的表面積

1．旋轉體的表面積

2．多面體的表面積

多面體的表面積就是各個面的面積之和，也就是展開圖的面積.

棱錐、棱台、棱柱的側面積公式間的

二、柱體、錐體、台體的體積

1．柱體、錐體、台體的體積公式

2．柱體、錐體、台體體積公式間的關系

3．必記結論

（1）一個組合體的體積等于它的各部分體積之和或差；

（2）等底面面積且等高的兩個同類幾何體的體積相等.

三、球的表面積和體積

1．球的表面積和體積公式

2．球的切、接問題（常見結論）

考向一 柱體、錐體、台體的表面積

1．已知幾何體的三視圖求其表面積，一般是先根據三視圖判斷空間幾何體的形狀，再根據題目所給數據與幾何體的表面積公式，求其表面積．

2．多面體的表面積是各個面的面積之和，組合體的表面積應注意重合部分的處理，以确保不重複、不遺漏.

3．求多面體的側面積時，應對每一個側面分别求解後再相加；求旋轉體的側面積時，一般要将旋轉體展開為平面圖形後再求面積.

考向二 柱體、錐體、台體的體積

空間幾何體的體積是每年高考的熱點之一，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度較小，屬容易題. 求柱體、錐體、台體體積的一般方法有：

（1）若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或台體，則可直接利用公式進行求解．

（2）若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等體積法、割補法等方法進行求解．

①等體積法：一個幾何體無論怎樣轉化，其體積總是不變的．如果一個幾何體的底面面積和高較難求解時，我們可以采用等體積法進行求解．等體積法也稱等積轉化或等積變形，它是通過選擇合适的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關錐體的體積，特别是三棱錐的體積.

②割補法：運用割補法處理不規則的空間幾何體或不易求解的空間幾何體的體積計算問題，關鍵是能根據幾何體中的線面關系合理選擇截面進行切割或者補成規則的幾何體.要弄清切割後或補形後的幾何體的體積是否與原幾何體的體積之間有明顯的确定關系，如果是由幾個規則的幾何體堆積而成的，其體積就等于這幾個規則的幾何體的體積之和;如果是由一個規則的幾何體挖去幾個規則的幾何體而形成的，其體積就等于這個規則的幾何體的體積減去被挖去的幾個幾何體的體積．因此，從一定意義上說，用割補法求幾何體的體積，就是求體積的“加、減”法．

（3）若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然後根據條件求解.

考向三 球的表面積和體積

1．确定一個球的條件是球心和球的半徑，已知球的半徑可以利用公式求球的表面積和體積；反之，已知球的體積或表面積也可以求其半徑.

2．球與幾種特殊幾何體的關系：(1)長方體内接于球，則球的直徑是長方體的體對角線長；(2)正四面體的外接球與内切球的球心重合，且半徑之比為3∶1；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圓柱，圓柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的中點；(4)球與圓柱的底面和側面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑；(5)球與圓台的底面和側面均相切，則球的直徑等于圓台的高．

3．與球有關的實際應用題一般涉及水的容積問題，解題的關鍵是明确球的體積與水的容積之間的關系，正确建立等量關系.

考向四 空間幾何體表面積和體積的最值

求解空間幾何體表面積和體積的最值問題有兩個思路：

一是根據幾何體的結構特征和體積、表面積的計算公式，将體積或表面積的最值轉化為平面圖形中的有關最值，根據平面圖形的有關結論直接進行判斷；

二是利用基本不等式或是建立關于表面積和體積的函數關系式，然後利用函數的方法或者利用導數方法解決.

【名師點睛】

涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關系，或隻畫内切、外接的幾何體的直觀圖，确定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解.先确定三角形BCD外接圓的半徑，再解方程得外接球半徑，最後根據球的體積公式得結果.

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