#頭條創作挑戰賽#

老黃此前已經對實數完備性的六個基本定理：确界原理，單調有界定理，區間套定理，有限覆蓋定理，聚點定理，以及它們的同一性進行了介紹和多番證明，全部都在《老黃學高數》的各講視頻中介紹過了。

其中第73講，利用确界原理證明了單調有界定理；在第213講，利用單調有界定理，證明了區間套定理；第221講，利用區間套定理證明了聚點定理；第219講用聚點定理的推論證明了柯西收斂準則的充分性；老黃還在番外章介紹了聚點定理直接證明柯西收斂準則的方法，其實道理是一樣的。第222講又利用柯西收斂準則證明了确界原理。這裡老黃再用有限覆蓋定理，證明聚點定理；這就形成了一個循環閉路，即用任何一個定理，都可以通過循環證明其它所有五個定理，因此它們是等價的。

問題：試用有限覆蓋定理證明聚點定理.

有限覆蓋定理，簡言之就是指閉區間的無限開覆蓋，可以削弱為有限開覆蓋。聚點定理則是指有界無窮點集必有聚點。

證：設S為數軸上有界無窮點集, 則存在M>0, 使S⊂[-M,M]，【設S是數軸上有界無窮的點集，那麼就一定存在正數M，使S包含于[-M到M]。如果滿足不了，就把M取得更大，使其充分大就可以了。如果找不到這樣的M，那就說明S無界，矛盾。千萬不要把心思放在考慮這個M到底是什麼上。比如告訴你，這個世界上有一個人比你高，你會去糾結他到底是誰嗎？】

若[-M,M]中任何點都不是S的聚點，則對每一個x∈[-M,M]，【如果在這個閉區間上任何點都不是S的聚點，這是反證法應用的開始。要證明這麼說是錯誤的。】

必存在相應的δx>0，使得U(x,δx)内至多有S的有限多個點.【假如上面的說法是正确的，那麼這個閉區間上的任何一個點x，必存在對應的一個正數δx，使得U(x,δx)内都至多有S的有限多個點。】

設H={U(x,δx)|x∈[-M,M]}，則H是[-M,M]的一個開覆蓋，【這些開鄰域組成了一個開鄰域集H，它就對[-M,M]形成了一個開覆蓋。因為H包含了[-M,M]上任何一個x的鄰域嘛】

由有限覆蓋定理，H中存在有限個開鄰域：H’={U(xj,δ_(xj ))|xj∈[-M,M]}(⊂H)，

H’構成[-M,M]的一個有限開覆蓋，并覆蓋S.

又每一個U(xj,δ(x_j ))内至多含有S中的有限個點,【有限個鄰域内都有S中的有限個點，又覆蓋了S，這樣不就說明S隻有有限個點了嗎？】

與S為無窮點集相矛盾，∴[-M,M]中至少有S的一個聚點.

這種證明，相當抽象，不知道在老黃文字解釋的加持下，你能不能理解呢？愛數學的小夥伴們一定要盡量理解哦，老黃還想陪大家一起繼續遨遊到數學知識海洋的更深處呢！

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