初三二次函數萬能口訣?備戰2020年中考數學一輪複習——二次函數（壓軸題專項），我來為大家科普一下關于初三二次函數萬能口訣?以下内容希望對你有幫助!

初三二次函數萬能口訣

備戰2020年中考數學一輪複習——二次函數（壓軸題專項）

1、【2019遂甯中考】如圖，頂點為P（3，3）的二次函數圖象與x軸交于點A（6，0），點B在該圖象上，OB交其對稱軸l于點M，點M、N關于點P對稱，連接BN、ON．

（1）求該二次函數的關系式．

（2）若點B在對稱軸l右側的二次函數圖象上運動，請解答下列問題：

①連接OP，當OP＝MN時，請判斷△NOB的形狀，并求出此時點B的坐标．

②求證：∠BNM＝∠ONM．

2、如圖，直線y＝－x＋n交x軸于點A，交y軸于點C(0，4)，抛物線y＝x2＋bx＋c經過點A，交y軸于點B(0，－2)，點P為抛物線上一個動點，過點P作x軸的垂線PD，過點B作BD⊥PD于點D，連接PB，設點P的橫坐标為m.

(1)求抛物線的解析式；

(2)當△BDP為等腰直角三角形時，求線段PD的長．

3、如圖，點O是坐标原點，點A(n,0)是x軸上一動點(n＜0)以AO為一邊作矩形AOBC，點C在第二象限，且OB＝2OA．矩形AOBC繞點A逆時針旋轉90°得矩形AGDE.過點A的直線y＝kx＋m交y軸于點F，FB＝FA．抛物線y＝ax2＋bx＋c過點E、F、G且和直線AF交于點H，過點H作HM⊥x軸，垂足為M.

(1)求k的值；

(2)點A位置改變時，△AMH的面積和矩形AOBC的面積的比值是否改變？說明你的理由．

4、已知抛物線y＝x2＋(2m－1)x－2m(m＞0.5)的最低點的縱坐标為－4.

(1) 求抛物線的解析式；

(2) 如圖1，抛物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C，D為抛物線上的一點，BD平分四邊形ABCD的面積，求點D的坐标；

(3) 如圖2，平移抛物線y＝x2＋(2m－1)x－2m，使其頂點為坐标原點，直線y＝－2上有一動點P，

過點P作兩條直線，分别與抛物線有唯一的公共點E、F(直線PE、PF不與y軸平行)，

求證：直線EF恒過某一定點.

5、如圖1，點A是直線y＝kx(k＞0，且k為常數)上一動點，以A為頂點的抛物線y＝(x－h)2＋m交直線y＝x于另一點E，交y軸于點F，抛物線的對稱軸交x軸于點B，交直線EF于點C．(點A，E，F兩兩不重合)

(1)請寫出h與m之間的關系；(用含k的式子表示)

(2)當點A運動到使EF與x軸平行時(如圖2)，求線段AC與OF的比值．

　　　　圖1　　　 　圖2

6、已知直線y＝x－2t與抛物線y＝a(x－t)2＋k(a>0，t≥0，a、t、k為已知數)，在t＝2時，直線剛好經過抛物線的頂點．

(1)求k的值；

(2)t由小變大時，兩函數值之間大小不斷發生改變，特别當t大于正數m時，無論自變量x取何值，y＝x－2t的值總小于y＝a(x－t)2＋k的值，

試求a與m的關系式；

(3)當0≤t＜m時，設直線與抛物線的兩個交點分别為A、B，在a為定值時，線段AB的長度是否存在最大值，若有，請求出相應的t的取值，若沒有，請說明理由．

7、如圖，已知矩形ABCO在坐标系的第一象限，它的長AO是寬OC的倍，且有兩邊在坐标軸上．将△ACO沿對角線AC翻折的△ACP，P點落在經過矩形ABCO四個頂點的⊙E上，⊙E的半徑為R.

(1)用R的式子表示點B的坐标；

(2)若抛物線y＝ax2＋x＋c經過P、A兩點，請你判斷點C是否在此抛物線上；

(3)若(2)中的抛物線的頂點為Q，該抛物線與x軸的另一個交點為M，那麼直線OB将△AMQ的面積分為兩個部分的比值k是否是一個定值？如果不是，請說明理由；如果是，請求出其比值k.

8、如圖，在平面直角坐标系中，直線y＝－x＋m(m為大于0的常數)與x軸相交于點A，與y軸相交于點C，開口向下的抛物線y＝ax2＋bx＋c經過A，C兩點，與x軸相交于另一點B，以AB為直徑的⊙M經過點C．

(1)直接寫出點A，C的坐标(用含m的式子表示)；

(2)求ac的值；

(3)若直線l平行于AC，且與抛物線y＝ax2＋bx＋c有且隻有一個公共點P，連接PA，PC，當△PAC的面積等于4時，求⊙M與抛物線y＝ax2＋bx＋c的交點坐标．

9、如圖1，抛物線y＝ax2﹣9ax﹣36a（a≠0）與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且OC＝OA，點P是抛物線上的一個動點，過點P作PE⊥x軸于點E，交直線BC于點D，連接PC．

（1）求抛物線的解析式；

（2）如圖2，當動點P隻在第一象限的抛物線上運動時，連接PB，試問△PCB的面積是否有最大值？如果有，請求出其最大值，如果沒有，請說明理由．

（3）當點P在抛物線上運動時，将△CPD沿直線CP翻折，點D的對應點為點Q，試問，四邊形CDPQ是否能成為菱形？如果能，請直接寫出點P的坐标；如果不能，請說明理由．

參考答案

1、【2019遂甯中考】如圖，頂點為P（3，3）的二次函數圖象與x軸交于點A（6，0），點B在該圖象上，OB交其對稱軸l于點M，點M、N關于點P對稱，連接BN、ON．

（1）求該二次函數的關系式．

（2）若點B在對稱軸l右側的二次函數圖象上運動，請解答下列問題：

①連接OP，當OP＝MN時，請判斷△NOB的形狀，并求出此時點B的坐标．

②求證：∠BNM＝∠ONM．

【解析】（1）∵二次函數頂點為P（3，3）∴設頂點式y＝a（x﹣3）2 3∵二次函數圖象過點A（6，0）

∴（6﹣3）2a 3＝0，解得：a＝﹣ ∴二次函數的關系式為y＝﹣（x﹣3）2 3＝﹣x2 2x

（2）設B（b，﹣b2 2b）（b＞3）∴直線OB解析式為：y＝（﹣b 2）x

∵OB交對稱軸l于點M∴當xM＝3時，yM＝（﹣b 2）×3＝﹣b 6

∴M（3，﹣b 6）∵點M、N關于點P對稱∴NP＝MP＝3﹣（﹣b 6）＝b﹣3，∴yN＝3 b﹣3＝b，即N（3，b）

①∵OP＝MN∴OP＝MP∴＝b﹣3解得：b＝3 3

∴﹣b2 2b＝﹣×（3 3）2 2×（3 3）＝﹣3 ∴B（3 3，﹣3），N（3，3 3）

∴OB2＝（3 3）2 （﹣3）2＝36 18，ON2＝32 （3 3）2＝36 18，BN2＝（3 3﹣3）2 （﹣3﹣3﹣3）2＝72 36∴OB＝ON，OB2 ON2＝BN2

∴△NOB是等腰直角三角形，此時點B坐标為（3 3，﹣3）．

②證明：如圖，設直線BN與x軸交于點D ∵B（b，﹣b2 2b）、N（3，b）

設直線BN解析式為y＝kx d ∴ 解得：∴直線BN：y＝﹣bx 2b

當y＝0時，﹣bx 2b＝0，解得：x＝6∴D（6，0）∵C（3，0），NC⊥x軸

∴NC垂直平分OD ∴ND＝NO ∴∠BNM＝∠ONM

2、如圖，直線y＝－x＋n交x軸于點A，交y軸于點C(0，4)，抛物線y＝x2＋bx＋c經過點A，交y軸于點B(0，－2)，點P為抛物線上一個動點，過點P作x軸的垂線PD，過點B作BD⊥PD于點D，連接PB，設點P的橫坐标為m.

(1)求抛物線的解析式；

(2)當△BDP為等腰直角三角形時，求線段PD的長．

【解析】：(1)由直線y＝－x＋n過點

C(0，4)，得n＝4，

∴y＝－x＋4.令y＝0時，－x＋4＝0，解得x＝3.∴A(3，0)．∵抛物線y＝x2＋bx＋c經過點A(3，0)，B(0，－2)，

∴∴

∴抛物線的解析式為y＝x2－x－2.

(2)∵點P的橫坐标為m，

∴P，D(m，－2)．

若△BDP為等腰三角形，則PD＝BD.

①當點P在直線BD上方時，PD＝m2－m.

(ⅰ)若點P在y軸左側，則m＜ 0，BD＝－m.

∴m2－m＝－m，∴m1＝0(舍去)，m2＝(舍去)．

(ⅱ)若點P在y軸右側，則m＞ 0，BD＝m.

∴m2－m＝m，∴m3＝0(舍去)，m4＝.

②當點P在直線BD下方時，m＞ 0，BD＝m，PD＝－m2＋m.∴－m2＋m＝m，∴m5＝0(舍去)，m6＝.

綜上所述，當m＝或，△BDP為等腰直角三角形，此時PD的長為或.

3、如圖，點O是坐标原點，點A(n,0)是x軸上一動點(n＜0)以AO為一邊作矩形AOBC，點C在第二象限，且OB＝2OA．矩形AOBC繞點A逆時針旋轉90°得矩形AGDE.過點A的直線y＝kx＋m交y軸于點F，FB＝FA．抛物線y＝ax2＋bx＋c過點E、F、G且和直線AF交于點H，過點H作HM⊥x軸，垂足為M.

(1)求k的值；

(2)點A位置改變時，△AMH的面積和矩形AOBC的面積的比值是否改變？說明你的理由．

【解析】 (1)根據題意得到：E(3n,0)，G(n，－n)．當x＝0時，y＝kx＋m＝m，∴點F坐标為(0，m)．

∵Rt△AOF中，AF2＝m2＋n2，

∵FB＝AF，

∴m2＋n2＝(－2n－m)2，

化簡，得m＝－0.75n，

對于y＝kx＋m，當x＝n時，y＝0，

∴0＝kn－0.75n，

∴k＝0.75

(2)∵抛物線y＝ax2＋bx＋c過點E、F、G，

∴

解得a＝，b＝－，c＝－0.75n.

∴抛物線為y＝x2－x－0.75n.

解方程組：

得：x1＝5n，y1＝3n；x2＝0，y2＝－0.75n.

∴H坐标(5n,3n)，HM＝－3n，AM＝n－5n＝－4n，

∴△AMH的面積＝0.5×HM×AM＝6n2.

而矩形AOBC的面積＝2n2，

∴△AMH的面積∶矩形AOBC的面積＝3∶1，不随着點A的位置的改變而改變．

4、已知抛物線y＝x2＋(2m－1)x－2m(m＞0.5)的最低點的縱坐标為－4.

(1) 求抛物線的解析式；

(2) 如圖1，抛物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C，D為抛物線上的一點，BD平分四邊形ABCD的面積，求點D的坐标；

(3) 如圖2，平移抛物線y＝x2＋(2m－1)x－2m，使其頂點為坐标原點，直線y＝－2上有一動點P，

過點P作兩條直線，分别與抛物線有唯一的公共點E、F(直線PE、PF不與y軸平行)，

求證：直線EF恒過某一定點.

【解析】(1) y＝x2＋(2m－1)x－2m＝(x＋m－0.5)2－m2－m－0.25，∵最低點的縱坐标為－4，

∴－m2－m－0.25＝－4，即4m2＋4m－15＝0，∴m＝1.5或－2.5. ∵m＞0.5，∴m＝1.5.

∴抛物線的解析式為y＝x2＋2x－3.

(2) ∵y＝x2＋2x－3，∴A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3). 連AC交BD于E，

過A作AM⊥BD于M，過C作CN⊥BD于N，

由△ABD與△CBD面積相等，得AM＝CN.

于是易得△AEM≌△CEN(AAS)，∴AE＝CE，∴E(－1.5，－1.5).

又B(1，0)，∴直線BE的解析式為y＝0.6x－0.6.

由，解得D(－，－).

(3) 設E(t，t2)，F(n，n2)，設直線PE為y＝k1(x－t)＋t2，

由，得 x2－k1x＋k1t－t2＝0，△＝k12－4(k1t－t2)＝(k1－2t)2＝0，∴k1＝2t.

∴直線PE為y＝2t(x－t)＋t2，即y＝2tx－t2. 令y＝－2，得xP＝.

同理，設直線PF為y＝k2(x－n)＋n2，xP＝，得：＝，

∵t≠n，∴tn＝－2.

設直線EF的解析式為y＝kx＋b，由，得x2－kx－b＝0，

∴xE·xF＝－b，即tn＝－b，∴b＝2. ∴直線EF為y＝kx＋2，過定點(0，2).

5、如圖1，點A是直線y＝kx(k＞0，且k為常數)上一動點，以A為頂點的抛物線y＝(x－h)2＋m交直線y＝x于另一點E，交y軸于點F，抛物線的對稱軸交x軸于點B，交直線EF于點C．(點A，E，F兩兩不重合)

(1)請寫出h與m之間的關系；(用含k的式子表示)

(2)當點A運動到使EF與x軸平行時(如圖2)，求線段AC與OF的比值．

　　　　圖1　　　　圖2

【解析】 (1)∵抛物線頂點(h，m)在直線y＝kx上，∴m＝kh；

(2)解方程組

将②代入①得到：(x－h)2＋kh＝kx，

整理得：(x－h)[(x－h)－k]＝0，

解得：x1＝h，x2＝k＋h.

代入到方程②得y1＝kh，y2＝k2＋hk.

所以點E坐标是(k＋h，k2＋hk)

當x＝0時，y＝(x－h)2＋m＝h2＋kh，

∴點F坐标是(0，h2＋kh)

當EF和x軸平行時，點E，F的縱坐标相等，

即k2＋kh＝h2＋kh

解得：h＝k(h＝－k舍去，否則E，F，O重合)

此時點E(2k,2k2)，F(0,2k2)，C(k,2k2)，A(k，k2)

∴AC∶OF＝k2∶2k2＝1∶2

6、已知直線y＝x－2t與抛物線y＝a(x－t)2＋k(a>0，t≥0，a、t、k為已知數)，在t＝2時，直線剛好經過抛物線的頂點．

(1)求k的值；

(2)t由小變大時，兩函數值之間大小不斷發生改變，特别當t大于正數m時，無論自變量x取何值，y＝x－2t的值總小于y＝a(x－t)2＋k的值，

試求a與m的關系式；

(3)當0≤t＜m時，設直線與抛物線的兩個交點分别為A、B，在a為定值時，線段AB的長度是否存在最大值，若有，請求出相應的t的取值，若沒有，請說明理由．

【解析】 (1)由題意，t＝2時，直線剛好經過抛物線的頂點．

而此時直線解析式為y＝x－4，

對稱軸坐标為直線x＝2.

易得k＝－2.

(2)當t＞m時，無論自變量x取何值，一次函數的值總小于二次函數的值，

說明當t＝m時，直線與抛物線有且隻有一個公共點．

可設此時直線與抛物線解析式分别為y＝x－2m和y＝a(x－m)2－2，聯立消去y，得：

ax2－(2am＋1)x＋am2－2＋2m＝0，

由Δ＝0得：8a＋1－4am＝0.

(3)設A(x1，y1)，B(x1，y1)，坐标系内構造直角三角形後易知，

AB＝

聯立直線與抛物線解析式消去y，得：ax2－(2at＋1)x＋at2－2＋2t＝0.

由求根公式可知：

＝＝，

AB＝＝.

由于a為定值且a>0，所以－4a<0，由于1,8a，、均為正，

從而t＝0時，AB＝最大．

7、如圖，已知矩形ABCO在坐标系的第一象限，它的長AO是寬OC的倍，且有兩邊在坐标軸上．将△ACO沿對角線AC翻折的△ACP，P點落在經過矩形ABCO四個頂點的⊙E上，⊙E的半徑為R.

(1)用R的式子表示點B的坐标；

(2)若抛物線y＝ax2＋x＋c經過P、A兩點，請你判斷點C是否在此抛物線上；

(3)若(2)中的抛物線的頂點為Q，該抛物線與x軸的另一個交點為M，那麼直線OB将△AMQ的面積分為兩個部分的比值k是否是一個定值？如果不是，請說明理由；如果是，請求出其比值k.

【解析】 (1)點B坐标為(R，R)．

(2)易求點P坐标為，點A坐标為(R,0)，則：

解得

∴抛物線的解析式為：y＝－ x2＋x＋R.

由于點C坐标為(0，R)，因其正好為抛物線與y軸的交點，故點C在抛物線上．

(3)如圖，由頂點坐标公式易求得Q點坐标為，令y＝0，可解得M點的坐标為，從而S△AMQ＝＝.

又易求OB解析式為y＝x.

設AQ解析式為y＝kx＋b，則：

解得

∴設AQ解析式為y＝－x＋

聯立AQ與OB的解析式解得交點N的坐标為.

從而易求S△AON＝·R·＝.

∴＝÷＝.

直線OB将△AMQ的面積分為兩個部分的比值k是一個定值，且k＝或者.

8、如圖，在平面直角坐标系中，直線y＝－x＋m(m為大于0的常數)與x軸相交于點A，與y軸相交于點C，開口向下的抛物線y＝ax2＋bx＋c經過A，C兩點，與x軸相交于另一點B，以AB為直徑的⊙M經過點C．

(1)直接寫出點A，C的坐标(用含m的式子表示)；

(2)求ac的值；

(3)若直線l平行于AC，且與抛物線y＝ax2＋bx＋c有且隻有一個公共點P，連接PA，PC，當△PAC的面積等于4時，求⊙M與抛物線y＝ax2＋bx＋c的交點坐标．

【解析】 (1)點A(2m,0)，C(0，m)；

(2)∵以AB為直徑的⊙M經過點C，

∴∠ACB＝90°.

可證得，△BOC∽△COA，∴OB∶OC＝OC∶OA．

∵OA＝2m，OC＝m，∴OB＝＝＝m.

∴點B(－m,0)．

将點A(2m,0)，B(－m,0)，C(0，m)的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，

解得a＝－，b＝，c＝m.

∴抛物線的解析式為：y＝－x2＋x＋m，ac＝(－)×m＝－1.

(3)過點P作PH⊥x軸交AC于點E，交x軸于點H，過點C作CF⊥PH，垂足為F.

∵直線l平行于AC，設l的解析式為：

y＝－x＋n.

代入抛物線的解析式并整理，得－x2＋2x＋m－n＝0.

∵l與抛物線y＝－x2＋x＋m有且隻有一個公共點P，

∴Δ＝22－4(－)(m－n)＝0.解得n＝2m.

∴l的解析式為：y＝－x＋2m.

S△PAC＝S△PCE＋S△PAE＝PE×CF＋PE×AH＝PE×AO.

∵AO＝2m，PE＝2m－m＝m.

∴S△PAC＝PE×AO＝m×2m＝4.

解得m＝±2.∵m＞0，∴m＝2.

∴抛物線的解析式為：y＝－x2＋x＋2.

∵⊙M與抛物線的一個交點C(0,2)的縱坐标為2，令－x2＋x＋2＝2.

解得x＝0或x＝3.

∴⊙M與抛物線y＝ax2＋bx＋c的交點坐标為：A(4,0)，B(－1,0)，C(0,2)和C1(3,2)．

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