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導數的幾個重要法則

生活更新时间:2024-08-27 12:19:30

一元函數的導數有兩種記号表示。一個是牛頓用的，表示是從函數得到的導函數。另一個是萊布尼茲用的。為了将這兩個記号統一起來：我們把dx看成自變量，dy的值定義為

也就是說，把dy看成是在x點處增加dx，沿着該點的函數切線的y的增量，見下圖。

導數的幾個重要法則（求導數的兩種記号）1

dy的涵義

如果這麼看待，兩種記号就是一個意思了，因為

（會不會感覺這是個無聊的記号遊戲？）

其實，導數真正的意思是

它是一個分式的極限，即分母是自變量x的變化值，記作h，分子是因變量相應的變化值，讓這個x的變化值變得無窮小時的比值，它等于該點處切線的斜率。它近似于取一個很小的x的增量dx作分母，相應的y的增量dy作分子的比值，這大概也是dy/dx記号的原來的意思，而且這個dy/dx的記号把導數計算式子的分式形式展現出來了，這是這個記号的優點，大家隻要把裡面的dx理解成x的一個非常非常小的增量就可以了。其實d就是differential的首字母，所以dx表示x的一個小增量，dy表示y的一個相應的小增量。而f'(x)這種記号雖然形式簡單，卻沒有展現出求導數的方法是什麼。

我個人還是喜歡牛頓的記号，（因為我已經會求導數了）因為表示導函數在函數上加一撇就行了，很方便。dy/dx這個記号寫起來确實麻煩，但它也有它的好處，起到了幫助記憶導數涵義的作用吧。兩種記号都是可用的，因為牛頓和萊布尼茲都是微積分的獨立創立者，我想這是為了尊敬兩位前輩吧：）

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