蘇格拉底（公元前469年～公元前399年），古希臘時期的思想家、哲學家和教育家，出身貧寒，是一位個性鮮明、從古至今被人毀譽不一的著名曆史人物。蘇格拉底是柏拉圖的老師，他一生未曾著述，其言論和思想多見于柏拉圖和色諾芬的著作，如《蘇格拉底言行回憶錄》。蘇格拉與柏拉圖、亞裡士多德并稱"希臘三賢"。

蘇格拉底的妻子是個心胸狹窄、冥頑不化，喜歡唠叨不休，動辄破口大罵的女人，而且常使堂堂的哲學家蘇格拉底困窘不堪。一次，别人問蘇格拉底"您當初為什麼要選擇這樣一位妻子?"時，他回答說："擅長馬術的人總要挑烈馬騎，騎慣了烈馬，駕馭其他的馬就不在話下了。我如果能忍受得了這樣女人的話，恐怕天下就再也沒有難于相處的人了。" 在西方，"蘇格拉底的妻子"是悍婦、壞老婆的代名詞。

有一天，柏拉圖問蘇格拉底："什麼是愛情？"蘇格拉底說：

"前面有一片麥田，你走一趟，選最大最漂亮的一根麥回來，但選一根後不能改變主意，也不準走回頭路。"

結果柏拉圖空手而歸："我每次看見一根好麥，總覺得之後會遇上更好的，三心兩意下，走完麥田都沒拿到。"蘇格拉底告訴柏拉圖："這便是愛情"。

又有一天，柏拉圖又問老師蘇格拉底："什麼是婚姻呢？"蘇格拉底這次讓柏拉圖去森林，按照上次的規則，要其選最大最漂亮的一棵樹回來。這次，柏拉圖果然有收獲："經過上次失敗的教訓，我選了一棵不特别漂亮的樹便算了。"蘇格拉底笑了："這便是婚姻"。

兩位哲學家用麥穗和樹枝問題來形象地比喻了愛情和婚姻的不同：前者是錯過了的美好，後者是人生旅途中權衡之後某個時候的抉擇。

1611年，偉大的天文物理學家約翰尼斯·開普勒的妻子去世，兩年後科學家準備續弦，重新組建家庭。由于開普勒的上一段婚姻并不幸福，所以這次他對交往的女士詳細考察，力求找到完美的對象。開普勒像面試一樣挨個交往相親對象，在見到第5名女性時，他眼前一亮，被對方的勤儉持家、善良忠誠所打動。他本想就此收手，但"下一個是不是更棒？"的想法，最終驅使他繼續去尋找更優秀的。

最後，開普勒一共交往了11名女士，但他并沒有找到更好的，反而一直對第5名女士牽腸挂肚。在某天去演講的途中，他突然下定決心，調頭前往第5名女士的家裡，厚着臉皮向這位被他拒絕過的女士求婚。幸運的是，對方答應了。就這樣，開普勒跟這名叫做蘇珊·羅伊特林格的女子結婚了，兩人生育了6名子女，生活幸福，攜手到老。可是，并不是每個人都能像開普勒這樣幸運，回頭時那個人剛好還在等你，更多是至尊寶式的遺憾："曾經有一份真誠的愛情擺在我面前，我沒有珍惜，等我失去之後，我才追悔莫及。人世間最痛苦的事莫過于此。" 人生沒有最優解，隻有滿意解。

人文學者及公衆都為這段頗富哲理的名人小故事津津樂道，但數學家們卻另辟蹊徑，從完全不同的、概率及統計的角度來解讀它。

麥穗問題雖然很普通，但也連得上貌似高深的"随機過程"。每棵麥穗的大小都可以看作是随機的，因此當柏拉圖在麥田中走一圈時，碰到一個又一個排成序列的随機變量，這不就是一個随機過程嗎？

在麥田的前1/e部分不要做決定（其中e為自然對數的底數，約等于2.71），隻是把它作為參考，看看這1/e部分中哪個最大，然後在後面的部分如果能遇到一個相似大小的，這就是我們理論上能尋求到的最大的麥穗。

理論上，你可以獲得一個最優解，但現實中我們很多人都會成為"柏拉圖"。

近日蘇黎世大學的一項研究表明，人們在等待決策的過程中，标準會越來越低。

他們招募了129名參與者來進行模拟購物實驗，他們需要盡可能以最少的錢下單機票。起飛日期确定，但機票的價格存在波動（像極了我每天在做的事）。

數據顯示，人們決策時使用的是一個"線性阈值模型"：越接近起飛日期，你能夠接受的心理價位就越高（它也意味着，人們所設定的标準越來越低了）。

研究人員表示，這一原則不僅适用于采購決策，也适用于選擇去哪家公司、挑選伴侶等情況：

"剛開始的時候，你的擇偶标準可能很高。但随着時間推移，它可能會慢慢降低，以至于你答應一個當初會拒絕的人。"

　英國倫敦大學學院的美女講師漢娜·弗萊博士最近出了本《真愛中的數學》，用數學模型幫"單身狗"們尋找真愛。

　　抛開書中那一串串同樣令人目眩神迷的數學公式，不妨直接看看弗萊博士給出了哪些建議。

首先是相親的策略，帶一位顔值低于你的朋友同行，相親成功的幾率會大大提高，這似乎是某種不太地道的"常識"，但弗萊博士卻通過複雜的計算，證實了它的科學性。

　　其次是最佳的結婚時間，計算發現，人們應該在計劃婚期之前所有約會時間過完37%之後再結婚。也就是說，如果一個人打算在35歲結婚，而他從15歲開始約會，那麼22.4歲之前所有的約會對象，都将不幸地成為他人幸福路上的墊腳石。

　　可别以為結了婚就萬事大吉，好事兒的數學家們對婚姻能否持續另有一套數學模型。據說，這套模型曾用于預測國家之間的軍備競賽。

利用數學的觀點抽象之後的麥穗問題，等效于概率及博弈論中著名的秘書問題。它還有多種變換版本：未婚夫問題、止步策略、蘇丹嫁妝問題，等等。

下面我們用"傻博士相親"的故事來叙述它。并借助微積分的基本概念用于求解分析這一問題過程。

且說幾年前留學人員中有一位外号"傻博士"的學生，精通數學，小有成就，唯有一老大難問題尚未解決：将近40歲還沒有交上女朋友。于是，那年他奉母命回國相親，據說半個月之内來了100名佳麗應召。後來，這位傻博士經過嚴格的數學論證，采用了一種他認為的"最佳策略"，終于百裡挑一，赢得美人歸。

這裡還需加上一段話，描述傻博士母親設定的條件。母親要求他在15天之内，要對這100位佳麗一個一個地面試，每位佳麗隻能見一次面，面試一個佳麗之後立即給出"不要"或"要"的答案。如果"不要"，則以後再無機會面試該女子；如果答案是"要"，則意味着博士選中了這位女子，相親過程便到此結束。

看到這裡，你也許已經能領會到這個"博士相親"與"麥穗問題"本質上是一緻的了。那麼，對于母親這種"見好就收，一錘定音"的要求，傻博士的"最佳策略"又是怎麼樣的呢？

既然是"最佳"，那應該用得上微積分中的最優化、求極值的技巧吧。果然如此！我們首先看看，傻博士是如何建造這個問題的數學模型的。

這看起來是個概率的問題。假設，按照傻博士對女孩的标準，他将100個女孩做了一個排行榜，從1到100編上号，"#1"是最好的，然後，"#2"、"#3"……當然，傻博士并不知道當時每一次面試的女孩是多少号。這些号碼随機地分布在傻博士安排的另一個面試序列（1，2，3，…，r，…，i，…，n）中，見圖3-5-1。傻博士的目的就是要尋找一種策略，使得這"一錘定音"定在"#1"的概率最高。

設想一下，傻博士可以有好多種方法做這件事。比如說，他可以想得簡單一點，預先随意認定一個數字r（比如将r固定為等于20），當他面試到第r個人的時候，就定下來算了。這時候，因為r是100中挑出來的任意一個，所以，這個人是"#1"的概率應該是1/100。這種簡單策略的概率很小，傻博士覺得太吃虧。比如說，當他面試到第20個人時，如果看到的是個醜八怪（或者瘋女子）也就這麼定下來嗎？顯然這不是一個好辦法。那麼，将上面的方法做點修正吧：仍然選擇一個數字（比如r＝20），但這次的策略是：他從第20個人開始認真考察，将後面的面試者與前面面試過的所有人加以比較。比如說，如果傻博士覺得這第20個面試者比前面19個人都好，那便可以"見好就收"。否則，他将繼續面試第21個，将她與前面20人相比較；如果不如前面的，繼續面試第22個，将她與前面21人相比較……如此繼續下去，直到面試到比前面的面試者都要更好的人為止。

根據圖3-5-1，總結一下傻博士策略的基本思想：對開始的r－1個面試者，答複都是"不要"，等于是"忽略"掉這些佳麗，隻是了解一下而已，直到第r個人開始，才認真考慮和比較。如果從r開始面試到第i個人的時候，覺得這是一個比前面的人都要更中意的人，便決定說"要"，從而停止這場遊戲。圖3-5-1中還标出了一個"臨時最佳者"，這和實際上隐藏着的排行榜中的"#1"是不同的。"臨時最佳者"指的是傻博士一個一個面試之後到達某個時刻所看到的最好的佳麗，是随着傻博士已經面試過的人數的增加而變化的。

這裡便有了一個問題：對100個人而言，到底前面應該"忽略"掉多少個人，才是最佳的呢？也就是說，對n個面試者，r應該等于多大，才能使得最終被選定的那個面試者，是"#1"的概率最大？r太小了當然不好，比如說，如果令r＝2，那就是說，隻忽略第一個，如果第二個比第一個好的話，就定下了第二個。當然也可能繼續下去，但很有可能使你的決定下得太快了，似乎還沒有真正開始面試，過程就結束了！r太大顯然也不行，比如說令r＝99，那就是說，從第99個人才開始比較。如此辦法，因為忽略的人數太多，當然，"#1"被忽略掉的可能性也非常大，面試了這麼多的人，将傻博士累得半死，選出#1的概率隻是大約為2/100而已。

也許，應該忽略掉一半，從中點開始考察？也許，這個數k符合黃金分割原則：0.618？也許與另外某個有名的數學常數（π或e）有關？然而，這都是一些缺乏論據的主觀猜測，傻博士是科學家，還是讓數學來說話吧。

我們首先粗略地考察一下，如果使用這種方法的話，對某個給定的r，應該如何估算最後選中"#1"的概率P（r）。對于給定的r，忽略了前面的r－1個佳麗之後，從第r個到第n個佳麗都有被選中的可能性。因此，在圖3-5-1下方的公式中，這個總概率P（r）被表示成所有的P（i）之和。這裡的i從r到n逐一變化，而P（i）則是選中第i個佳麗的可能性（概率）乘以這個佳麗是"#1"的可能性。

選中第i個佳麗的可能性是多少？取決于第i個佳麗被選中的條件，那應該是當且僅當第i個佳麗比前面i－1個都要更好，而且前面的人尚未被選中的情形下才會發生。也可以說，第i個佳麗被選中，當且僅當第i個佳麗比之前的"臨時最佳者"更好，并且這個臨時最佳者是在最開始被忽略的r－1個佳麗之中。因為如果這個臨時最佳者是在從r到i之間的話，她面試後就應該被選中了，然後就停止了"相親過程"，第i個佳麗不會被面試。

此外，這第i個佳麗是"#1"的可能性是多少呢？實際上，按照等概率原理，每個佳麗是"#1"的可能性是一樣的，都是1/n。因此根據上面的分析，我們便得到了圖3-5-1所示的選中"#1"的概率公式。

從公式可知，選中"#1"的概率是薩博士策略中開始認真考慮的那個點r的函數。讀者不妨試試在公式中代入不同的n及不同r的數值，可以得到相應情況下的Pn（r）。比如說，我們前面所舉的當n＝100時候的兩種情形：P100（2）大約等于6/100；P100（99）大約等于2/100。

下面問題就是要解決：r取什麼數值，才能使得Pn（r）最大？如果我們按照圖3-5-1中的公式計算出當n＝100時，不同r所對應的概率數值，比如令r分别為2，8，12，22，…，将計算結果畫在Pn（r）圖上，如圖3-5-2（a）所示。我們可以将這些離散點連接起來，成為一條連續曲線，然後估計出最大值出現在哪一個點r。這是求得P（r）最大值的一種實驗方法。

然而，我們更感興趣從理論上分析更為一般的問題，那就要用到微積分了。如果能給随機變量建立一套類似于普通微積分的理論，讓我們能夠像對普通變量做微積分那樣對随機變量做微積分就好了。

在普通微積分裡面，最基本的理論基礎是"收斂"和"極限"的概念，所有其他的概念都是基于這兩個基本概念的。對于随機過程的微積分，在數學家們建立了基于實分析和測度論的概率論體系之後，就可以像當初發展普通微積分那樣先建立"收斂"和"極限"這兩個概念。與普通數學分析不同的是，現在我們打交道的是随機變量，比以前的普通變量要複雜得多，相應建立起來的"收斂"和"極限"的概念也要複雜得多。

在随機微積分中的積分變量是随機過程，比如說無規行走。無規行走是時間的一個函數，卻有一個特殊的性質：處處連續但是處處不可導，正是這個特殊的性質使得随機微積分與普通微積分大不相同。

實際上，随機微積分一般都既牽涉到普通變量時間t，又牽涉到随機變量W（t）。所以，進行随機微積分時，如果碰到跟t有關的部分就用普通微積分的法則，而碰到跟W（t）有關的部分時就使用随機微積分的法則。

來源于1949年的一個數學家提出的未婚妻模型。兩者本質是一樣的。下面介紹下未婚妻模型。

先做幾個假設：

1. 相親男在打算談戀愛到結婚的這段時間裡（[0,m],m是時間點），假設可以遇到N個女生。比如，N = 0,1,2,3...這個N個人中的某一個，就是你的未婚妻。

2. 這N個女生，雖有優劣，均是随機的被相親男碰到的。

3. 相親男碰到的每一個女生，均有兩種選擇，要麼表白，要麼拒絕。一旦表白，則結束這個"征婚遊戲"；一旦拒絕，則繼續考慮下一個女生。（根據事件獨立性原則，不考慮腳踏兩隻船的情況）。

一般情況下，相親男會跟前幾個女生都接觸下，試試水，同時逐漸了解下自己的需求，再開始認真考慮，從下一個開始，隻要一碰到一個女生比自己之前遇到的人都合适，那麼就表白，其發展關系。

這個問題就變成了數學問題：先拒絕前k個人（k<=N-1），從k 1個人開始，一旦看到比之前所有人都要好的人，就毫不猶豫地選擇。

那麼，這個問題就變成了，如何确定k值，使得未婚妻出現的概率最大（即P(k)最大）。

算法如下：

我們假設，未婚妻出現在第i個位置。

一般情況下，每個人被選擇的概率，是1/N。

因為要拒絕掉前k個人，那麼k <i<=N，以及 k<=i-1。

又因為，未婚妻比前k個人都要好，這種選擇的概率為k/(i-1)。

未婚妻出現的總概率為

P(k) = Σ(1/N)(k/(i-1)) = (k/N)Σ(1/(i-1))。

其中求和從i=k 1開始。

（後面實際上是一個調和平均數）。啰嗦一句，調和平均數的本質在于總體等效。比如，初中時候的并聯電阻。其關鍵一點在于，在一個等效系統中，最重要的是考慮弱小的一方。有點類似短桶效應。

舉例子：比如，相親男要進行20次相親，即N = 20，他打算與前3個進行試探下，并不打算表白。即k=3。那麼P(k=3) = (3/20)[1/(4-1) 1/(5-1) 1/(6-1) ... 1/(20-1)]=我就不計算了。

用 x 來表示 k/n 的值，從極限角度考慮，當N = 無窮大時，上述P(k)可以用微積分寫：P(x) = x∫(1/t)dt = -xlnx

求最大值嘛，那麼就求導，對P(x)求導，就是對-xlnx求導，求導後令x=0,得到P(x)的最大值就是P(k)。

這個最大值為：(1-1/e) = 1/2.718 = 1- 0.3679 = 0.6321

換句話說，如果相親男拼命去相親（N = 無窮大），最多有63.21%的概率，碰到自己認為最合适的未婚妻。

但是建議量力而行，根據自己的實際情況确定N的值。。

最後，再說下這個模型的非常明顯的缺點：如果最佳人選本來就在這前36.79%的人裡面，錯過這 36.79% 的人之後，再也碰不上更好的了。（終身遺憾）

決策樹是直觀運用概率分析的樹形分類器，是很常用的分類方法，屬于監管學習，決策樹分類過程是從根節點開始，根據特征屬性值選擇輸出分支，直到到達葉子節點，将葉子節點存放的類别作為決策結果.

如圖1-11所示的樹狀圖展現了當代女大學生相親的決策行為。其考慮的首要因素的是長相，其他考慮因素依次為專業、年齡差和星座，同意與否都根據相應變量的取值而定。

決策樹算法模拟了上述的決策行為，按照這些要求，可以對候選相親男性的數據進行分類預測，然後根據預測結果找出女大學生心儀的男性。

決策樹以女性相親為例，那麼對于一個在婚戀交友網站注冊的男性，如何預測該男性的相親成功率呢？這裡使用KNN算法（K-NearestNeighor，最鄰近算法）進行預測。

這裡采用三個變量或屬性來描述一個男性，即收入、背景和長相。

在已有的數據中，深灰色點代表相親成功的人，白點代表相親不成功的人，中間連接線條的黑點代表一個新來的男性，KNN算法在預測這個新人相親是否成功時，會找到他和附近的K個點，并根據這些點是否相親成功來設定新人約會成功的概率。

比如圖1-12中黑點與兩個深灰色點、一個白點最近，因此該點相親成功的可能性占2/3。

KNN算法屬于惰性算法，其特點是不事先建立全局的判别公式或規則。當新數據需要分類時，根據每個樣本和原有樣本之間的距離，取最近K個樣本點的衆數（Y為分類變量）或均值（Y為連續變量）作為新樣本的預測值。該預測方法體現了一句中國的老話"近朱者赤，近墨者黑"。

參考文獻：張天榮，《從擲骰子到阿爾法狗：趣談概率》

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