混沌理論可能是數學中最具争議的領域之一。因為沒有人能就混亂到底意味着什麼達成一緻。主流媒體對蝴蝶效應的定義是：

在巴西，一隻蝴蝶扇動翅膀就能在德克薩斯州引發龍卷風

這意味着，隻要對一個系統做一個非常小的改變，就會導緻結果會有很大的變化。

不幸的是，就像數學中的大多數事情一樣，事情從來沒有那麼簡單。蝴蝶效應用于證明對初始條件的敏感依賴，混沌系統的三個要素是：

1. 對初始條件的敏感依賴
2. 拓撲傳遞性
3. 密集的周期軌道

在本文中，我們将探這三個要素，并了解混沌真正的含義。

動力系統

如果你已經了解了動力系統，請跳過這一節，開始閱讀關于初始條件的敏感依賴性。

當我們談到一個系統時，我們指的是一個動态系統，它有兩種形式：連續時間系統和離散時間系統。

用常微分方程定義連續時間系統。

這裡f是一個足夠好的函數并且可能依賴于某個參數。

從f映射到f的空間稱為相空間。為簡單起見，我們将假設相空間可以配備度量d（即一種測量點之間距離的方法），然後可以引入拓撲（在大多數情況下，相空間是歐幾裡得空間的一個子集）。

假設相空間中有給定值x_0，我們可以用ₜ(x₀)表示該值在t時刻的流量。如果我們給定初始條件，那麼我們将得到初值：

它具有解x（t），然後将流定義為ₜ（x₀）= x（t）。我們将不考慮流存在條件的細節。

我們稍後會需要，周期軌道的定義，所以最好在這裡定義。點x軌道的集合是：{ₜ(x), 對于任意時間t} 。也就是說，對于某個t值，流将以循環方式返回到初始條件，并将永遠重複這個循環。例如，地球繞着太陽轉（忽略那些細節），地球将會繞回它的起點。

我們可以對離散時間系統進行類似的讨論。在這種情況下，我們考慮以下控制方程：

x_0在n處的叠代是fⁿ(x₀)，對于一些n，fⁿ(x₀)= x₀，是一個周期軌道。

現在來看有趣的東西！

初始條件敏感依賴

這可能是三種條件中最直觀的一種，當你試圖将其與混沌聯系起來時，這也是最合理的，同時也是混沌理論第一個被發現的部分。

在20世紀50年代和60年代，計算機的商業化實現了更快速更複雜的計算。受益的領域之一是數值天氣預報。愛德華·洛倫茨參與了該領域的研究工作，并配備了皇家McBee LGP-30，用來通過一組複雜的ODE模拟天氣情況。将所得序列輸出為十二個數字。

為了能再次看到結果序列，他會寫下之前發生的那一行數字，然後下一次，他将從中間開始的那些初始條件開始。

不過奇怪的事情會發生：他不會再看到同樣的結果了。讀出一開始是一樣的，然後突然之間不再像預期的那樣。

• 這是洛倫茨方程的解的x值，它的條件是：ρ = 28，σ = 10，β = 8/3。盡管這些點開始非常接近，但它們最終的表現完全不同。

實際發生的是，計算機内部有6位的精度，但打印出來的隻有3位。這種舍入誤差意味着初始條件略有不同，但這些差異造成了系統行為的巨大變化。

他發現了初始條件的敏感依賴和并誕生了混沌理論。

初始條件的敏感依賴的定義是存在一個正的delta，使得對于相空間中的所有x和x的鄰域N，我們可以找到一個在N中的一個y和時間T，使：

這個方程适用于離散或連續系統。這意味着如果你給我一個初始的起始條件，我可以找到一個任意接近起始點的點，它的軌迹有一定的不同。

這在文獻中有時被稱為對初始條件的弱敏感依賴，因為它隻是說軌迹在某一點上一定是不同的。有一種更強烈的觀點認為，軌迹必須在某一時刻以指數速度發散。

這個定義是不夠的。以叠代加倍映射為例：

這裡的第n項是在初始條件下對D進行n次叠代。很容易看到，僅僅因為一個初始條件x₀，第n個項是xₙ= 2ⁿx₀。因此給任何兩個初始條件₀x和y₀，由此産生的軌迹發散成倍增長。

因此，雖然加倍映射對初始條件敏感，但它在正實線上的表現并不十分明顯。我們需要更強的條件!

初始條件的敏感依賴的一個很好的例子是雙擺。我不會嚴格地證明它證明了初始條件的敏感依賴，因為這證明篇幅太長了。相反，我将向你們展示由Dirk Brockmann提供的精彩動畫。

正如你所看到的，這兩個鐘擺從幾乎完全相同的地方開始，但在一段時間後表現完全不同。

拓撲傳遞性！

我們已經确定，僅僅對初始條件敏感是不夠的混沌的。我們需要更強的條件。我們想要概括運動是“到處都是”的思想。要求一個點不能停留在它的起始位置的局部，并且它被抛出去探索整個相空間是合理的。

這就是拓撲傳遞性的概念發揮作用的地方。它說給定一個開放集，它最終會與所有其他開放集相交。用符号寫，它是這樣的：

​現在我還沒有定義集合的流的含義，我相信你可以通過使用一個點的流的定義來理解它。同樣，這個定義沒有提到它是連續映射的流還是離散映射的流，因此兩者都可以應用。

這意味着，給定相空間的一個區域和足夠的時間，它會通過任何其他區域。同樣的，U的軌道在X上是密集的。

拓撲傳遞性的一個非常直觀的例子就是貝克變換。它的靈感來自于面包師揉面的過程。

我們認為叠代是拉伸單位正方形，然後将其切成兩半，然後将一半放在另一半之上，就像下圖這樣：

• 貝克變換的動畫

如果你長時間盯着它看，你就會相信每個集合最終會被分散到任何地方，從而展示出拓撲的可傳遞性。

密集的周期軌道！

可以說，這是最容易理解的。如果有一個周期軌道，那麼它在相空間是密集的。密集意味着相空間中的任意一點，都有一個周期點（周期軌道上的一點）任意地靠近它。

以一種迂回的方式，這确保了有許多非周期行為。由于在X的任意子集中，存在一個不穩定周期點的密集集合（不穩定性由初始條件的敏感依賴和拓撲傳遞性保證），這會導緻大量的非周期行為，這正是我們在混沌系統中所期望的。

NB 1：非周期的意思是不周期性的。

NB 2：很多人不同意這點。我将在下一節中對此進行讨論。

讨論

這裡給出的混沌系統的定義是由R. L. Devaney提出的，它是最廣泛和普遍接受的定義之一。

已經證明，在離散時間情況下，如果相空間是一個非有限度規空間，那麼實際上是拓撲傳遞的，周期軌道的密度意味着初始條件的敏感依賴。

正如我在本節開始時提到的，混沌有許多定義。彼得·史密斯認為，德瓦尼的定義是混沌的結果，而不是一個真正的定義本身。

• 如果離散映射具有拓撲熵，那麼它就是混沌的
• 如果一個離散映射的全局Lyaponov指數為正，那麼它就是混沌的
• 如果離散映射在某一點将單位間隔映射成馬蹄形，那麼它就是混沌的

您可能會注意到，所有這些定義都讨論離散映射，這是因為您始終可以使用稱為龐加萊區域從連續地圖構造離散地圖。龐加萊區域使你可以減小系統的尺寸并将其離散。

如果連續系統是混沌的，那麼在龐加萊區域的動力學将是混沌的。

所以現在你知道了！我認為最吸引人的地方之一是，與許多數學不同，它沒有明顯正确或合理的定義——它純粹是描述物理現象。直接的結果是，對于混亂到底是什麼有許多相互矛盾的概念。

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