題：如圖1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的點，∠EAF=45°，求EF/AB的最小值.

此題難度一般，本人在《經典再現22》一文中抛出了一塊磚(如下解法一)，引來了多塊玉，許多網友紛紛評論，給出了更為巧妙簡便的解法，現整理為如下的解法二、三、四。或許還有其他解法，歡迎各位高手不吝賜教。

解法一：如圖2，連接AC.則∠BAC=∠DAC=45°，

所以∠BAE ∠EAC=45°，

因為∠EAF=45°，

所以∠EAC ∠CAF=45°，

所以∠BAE=∠CAF.

同理，∠DAF=∠CAE.

作EG⊥AC于G，FH⊥AC于H，則

∠AGE=∠AHF=∠B=∠D=90°，

所以△ABE∽△AHF，△ADF∽△AGE，

所以BE/HF=AE/AF，DF/GE=AF/AE，

兩式相乘，得

BE/HF•DF/GE= AE/AF•AF/AE=1，

所以BE•DF=GE•HF，

因為△GCE和△HCF都是等腰直角三角形，

所以GE=CE/√2，HF=CF/√2，

所以BE•DF=CE•CF/2.

設正方形ABCD的邊長為1，CE=x，CF=y，則

BE=1-x，DF=1-y，

所以(1-x)(1-y)=xy/2，

整理，得xy=2(x y)-2，

所以EF=√(x^2 y^2)

=√[(x y)^2-2xy]

=√[(x y)^2-4(x y) 4]

=√[(x y)-2]^2

=|x y-2|，

顯然，x y<2，

所以EF=2-(x y).

設x y=s，則EF=2-s，y=s-x，

因為xy=2(x y)-2，

所以xy=2s-2，

所以x(s-x)=2s-2，

整理，得x^2-sx 2s-2=0，

因為x為實數，

所以△=s^2-4(2s-2)≥0，

即s^2-8s 8≥0，

解得s≥4 2√2或s≤4-2√2，

所以s最大值為4-2√2，

所以EF最小值=2-(4-2√2)=2√2-√2.

所以EF/AB的最小值為2√2-2.

解法二：如圖3，因為四邊形ABCD為正方形，

所以AB=AD，∠DAB=90°，

所以将△ADF繞點A順時針旋轉90°，得△ABG，則

AG=AF，BG=DF，∠BAG=DAF，∠ABG=∠D=90°，

所以G、B、E三點共線，

所以EG=BG BE=DF BE。

在△AGE 與△AEF中，

因為∠EAF=45°，

所以∠BAE ∠DAF=45°，

所以∠GAE=45°=∠EAF，

又AE=AE，

所以△AGE≌△AEF，

所以EF=EG，

設正方形ABCD的邊長為1，BE=a，DF=b，則

EF=a b，CE=1-a，CF=1-b，

在Rt△CEF中，由勾股定理，得

(1-a)^2 (1-b)^2=(a b)^2，

整理，ab a b-1=0，

設a b=s，則a=s-b，代入上式，得

(s-b)b s-b b-1=0，

整理，得b^2-sb 1-s=0，

因為b為實數，

所以△=s^2-4(1-s)≥0，

即s^2 4s-4≥0，

解得s≥-2 2√2，或s≤-2-2√2(舍去)，

所以s最小值為2√2-2，

即EF的最小值為2√2-2.

所以EF/AB的最小值為2√2-2.

解法三：如圖1，設正方形ABCD的邊長為1，BE=a，DF=b，則CE=1-a，CF=1-b，

在△EAF和△CEF中，分别由餘弦定理和勾股定理，得

AE^2 AF^2-2AE•AF•cos∠EAF= EF^2=CE^2 CF^2，

即1 a^2 1 b^2-2√(1 a^2)• √(1 b^2)cos45°=(1-a)^2 (1-b)2，

整理，得

2(a b)= √2•√(1 a^2)• √(1 b^2)，

兩邊平方，整理，得'

a^2 b^2 4ab=1 a^2b^2，

再整理，得

a^2 b^2 2ab=1-2ab a^2b^2，

即(a b)^2=(1-ab)2，

因為a b>0，ab<1，

所以a b=1-ab，

設a b=s，則仿照解法二，得

s最小值為2√2-2。

又EF^2=(1-a)^2 (1-b)2

=2-2(a b) a^2 b^2，

=2-2(1-ab) a^2 b^2

=2ab a^2 b^2

=(a b)^2，

所以EF=a b，

所以EF最小值為2√2-2，

所以EF/AB最小值為2√2-2。

解法四：設正方形ABCD的邊長為1，BE=a，DF=b，∠BAE=α，則

∠DAF=45°-α，tanα=a，tan(45°-α)=b，

又tan(45°-α)=

(tan45° tanα)/(1 tan45°•tanα)

=(1-a)/(1 a)，

所以(1-a)/(1 a)=b，

在Rt△CEF中，

CE=1-a，

CF=1-b=1-(1-a)/(1 a)=2a/(1 a)，

所以EF=√(CE^2 CF^2)

=√[(1-a)^2 4a^2/(1 a)^2]

=√[(1-a)^2(1 a)^2 4a^2]/(1 a)

=√(1 2a^2 a^4)/(1 a)

=√(1 a^2)^2/(1 a)

=(1 a^2)/(1 a)，

設EF=s，則s=(1 a^2)/(1 a)，

去分母，得s sa=1 a^2，

整理為關于a的一元二次方程，得

a^2-sa 1-s=0，

因為a為實數，

所以△=s^2-4(1-s)≥0，

即s^2 4s-4≥0，

解得s≥-2 2√2，或s≤-2-2√2(舍去)，

所以s最小值為2√2-2，

即EF的最小值為2√2-2.

所以EF/AB的最小值為2√2-2.

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