橢圓的标準方程計算過程-tft每日頭條

橢圓的标準方程計算過程

生活更新时间:2025-01-27 21:05:41

橢圓與圓的關系

圓是一個很簡單很對稱的圖形，它是平面中到圓心的距離為定值的所有點組成的圖形。橢圓是對圓定義的一個擴展，它是平面中到兩個點的距離之和為定值的所有點組成的圖形，這兩個點被稱為焦點、兩個點之間的距離稱為焦距。當兩個焦點重合時，橢圓也就變成了圓。

橢圓的标準方程計算過程（橢圓的定義及其方程推導）1

假設有一條繩子，它的兩個端點是固定的，繩子長度超過兩個固定點的距離，拿一枝筆将繩子拉直，用這支筆繞一周畫出來的圖形軌迹就是橢圓，兩個固定端點就是橢圓的焦點。

橢圓的形狀、方向

橢圓的标準方程計算過程（橢圓的定義及其方程推導）2

橢圓是一個平面圖形，對于平面圖形我們通常會想辦法建立坐标系來進行表示。橢圓定義中沒有指定兩個焦點的位置和方向，因此橢圓的大小、位置和方向都是可以變化的。由于橢圓是一個對稱的圖形，同時滿足軸對稱和中心對稱，因此，為了簡單起見，通常選取原點作為橢圓的對稱中心，兩個坐标軸作為橢圓的對稱軸，那麼此時橢圓焦點應該是坐标軸上兩個對稱的點。

給定以上條件之後，橢圓方程的求解就不難了。下面我會給出焦點在x軸上的橢圓方程的推導。

橢圓方程的推導

橢圓的标準方程計算過程（橢圓的定義及其方程推導）3

以x軸上兩點A(-c, 0)、B(c, 0)作為焦點，求到兩個焦點的距離為2a的橢圓方程。

假設橢圓上任意一點的坐标為C(x, y), 那麼

橢圓的标準方程計算過程（橢圓的定義及其方程推導）4

兩邊平方并化簡

橢圓的标準方程計算過程（橢圓的定義及其方程推導）5

根據橢圓的定義，a>c，那麼

橢圓的标準方程計算過程（橢圓的定義及其方程推導）6

那麼可假設

橢圓的标準方程計算過程（橢圓的定義及其方程推導）7

此時橢圓方程可化簡為

橢圓的标準方程計算過程（橢圓的定義及其方程推導）8

這就是焦點在x軸對稱點上的橢圓标準方程。

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