我愛數學

話說阿布紮比是民族學院的一位學生。說來也巧，他有十二個不同年齡的同學，偏偏生肖剛好是鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬，十二樣生肖樣樣都有,既不重複，也無遺漏。這麼一來，自然就可以用子、醜、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，來代表這十二個人了。

阿布紮比

學院的宿舍區裡，有一條河濱馬路，修得筆直，這十二個人的宿舍全都在那裡，而且因為他們的年齡、籍貫和習俗都不一樣，領導為了照顧他們，分配他們每人各住在一幢樓的一間宿舍裡。他們的住處象一字長蛇陣那樣擺開，如圖分布在一條直線上。

阿布紮比同這十二人的關系都很好，課餘之暇，他打算經常到他們的住處串串門，談談心。要是他到這十二人的住處的次數一樣多，請問，他的宿舍應當選在哪裡，他到各家去串門時，所走的路最少?

這個題目有些特别。十二個宿舍在圖上是沒有給出距離數的。這就是說，距離可大可小，随便怎麼畫都行。

十二位同學

解決這個問題，可以先看最外面的兩家子和亥。要是隻有這兩家，那麼，在馬路上的什麼地方，到這兩家的距離的和最小呢?當然是子和亥中間的直線上的任何一點(包括子和亥在内)，到這兩家的距離的和最小。子亥這一段,在數學上名叫“區間”。

再看緊挨在它裡面的一個區間醜戌。很明顯，在醜戌這個區間内的任何一點(包括醜和戌在内)，到這兩家的距離的和最小。

現在，你大概已經察覺到：因為在醜戌區間内的任何一點，必然也位于子亥區間内；所以，醜戌區間的點，到子、醜、戌、亥四家的距離的和，都是最小的了。

下一步該怎麼辦呢?想來你的心裡已經亮堂了：再看位于醜戌區間裡面的寅和酉,然後照此推理。

經過這樣“層層剝筍”，直到最裡面的一個區間巳午，于是，你就可以下結論說：在巳午區間的任何一點(包括巳和午在内)，都是符合題目條件的。阿布紮比不妨直接搬進巳或者午的宿舍去住。

要是你以後再碰到這樣的問題，不管人家是多是少，距離是大是小，道路是直是曲，都不需要作任何計算，就能斷言:

一，當人家數是個偶數時，那可以搬到最中間的兩家中的一家去住；

二，當人家數是個奇數時，這時必有一家的位置處在中心，那就隻能搬進這家去住了。

要是你問：這十二個朋友不是住在一條線上，而是住在一條大道的一些分支上，阿布紮比又該住進哪個宿舍呢?

一般說來，解決這樣的問題要困難得多。要是允許他在大道旁選個地點蓋房子，這個問題又變得容易起來。你能找到答案嗎?

上一講，我們探究了絕對值的化簡，這一講，我們對絕對值的幾何意義作一個深入的剖析。因為在絕對值的知識點中，蘊含了許多重要的數學思想。

(1)分類讨論思想：絕對值化簡時，要根據被化簡式子的正負性來分類．

(2)整體思想：絕對值化簡時，有時需要将被化簡式子看作整體．

(3)數形結合思想：絕對值的幾何意義中，結合數軸來了解，更加簡單易懂．

借助幾何的直觀性，有的題目用絕對值的幾何意義更容易解決。

數學課我們學習了絕對值的幾何意義：數軸上，表示一個數的點與原點的距離，叫做這個數的絕對值．如數a的絕對值記作|a|，表示數a的點與原點的距離．

但是我們其實可以把|a|看作|a－0|，這樣就能表示為數a的點與數0的點的距離．

那麼|a－5|表示什麼呢？千萬别說成數a－5的點與數0的點的距離．而應該看成數a的點與數5的點的距離．

不能理解的同學，我們就舉最簡單的例子，數10的點與數5的點的距離是多少，你肯定是知道是10－5，那這裡隻不過把10換成了a而已，如果a比5小，加個絕對值符号，保證距離的非負性即可，這下你明白了吧．

那麼|a＋5|表示什麼呢？|a＋5|＝|a－(－5)|，表示數a的點與數－5的點的距離．

最後，你能說出|a－b|和|a＋b|的幾何意義嗎？

數軸三要素是原點，正方向和單位長度。數軸是數與形的第一次聯姻。數軸的幾何直觀性能夠幫助我們理解絕對值的概念。數軸上兩點之間的距離是單位長度的個數，不能是負數。a－b可能是負數，加上絕對值符号後可以利用絕對值的非負性保證距離的非負性。由此可見，絕對值還是一個很好的數學模型！

這道題目非常經典，所以我把它抄下來，分享給大家。題目讓我們閱讀一段文字材料，然後回答問題。

這道題目讓我們先學習，再考察我們學會了沒有。這種出題方式很新穎，題目請看下圖：

用絕對值的幾何意義解題

我們先做（1）填空題。

①小題依次填空：3，3，4。

②小題依次填空：|x 1|，1和－3。

③小題要搞懂題目的幾何意義：x是一個動點，A點代表數－1，B點代表數2，求x到A，B兩點的距離之和取最小值時，x的取值範圍。第二個空格要求填入最小值，最後一個空格問的是動點x到－2，－4和1這三個點的距離之和的最小值。

讀懂題目就好做了。第一個空格填

－1≤x≤2

第二個空格填入最小值3

第三個空格填入最小值5

題目沒有問x的取值範圍，如果問了，就這樣回答：當x=－2時，原式取最小值。

我們來做（2）計算題。

先搞懂題目的幾何意義。題目問的是動點x到1，2，3...2021這共計2021個點的距離之和的最小值是多少？

因為定點的數量是奇數，所以當x與這2021個點的中點重合時，所求的距離之和取最小值。

中點在哪裡呢？當然是（2021 1）÷2=1011的那個點。

隻需計算1011到1～1010的距離之和，得數乘以2就是所要求的答案。

也就是等差數列1，2，3，...，1010求和再乘以2。

套公式計算：

S=1010×（1 1010）÷2

=510555

2S=510555×2

=1021110

答：原式的最小值是1021110。

讀了開場故事，我們明白了這類問題有“奇中偶範”的結論。當定點數量是奇數時，動點位于正中點，距離總和取最小值；當定點數量是偶數時，動點在中間兩點的區間内，距離總和取最小值。

證明在最後一個章節給出。

例1請看下圖：

例2請看下圖：

例2也可以用絕對值的代數意義來解答。原式的兩個絕對值的零點分别是1和2，用零點分段法把數軸分為3段，分類讨論：

當x≥2時，原式=x-1-(x-2)=x-1-x 2=1，

（最大值）

當1<x<2時，原式=x-1-(2-x)=x-1-2 x

=2x-3；

當x≤1時，原式=1-x-(2-x)=1-x-2 x=-1

（最小值）

例3 武漢百步亭小區交警每天騎摩托車沿南北街來回巡邏，早餐從A地出發，晚上最後到達B地，假定向北為正方向，當天巡邏記錄如下：（單位：Km）

14，－9，18，－7，13，－6，10，－6，問：

（1）B地在A地什麼位置？

（2）若摩托車每千米耗油0.1升，則一共需耗油多少升？

解答：第一問可以把題目數據直接相加，

14-9 18-7 13-6 10-6=27

答案是正數，所以B地在A地正北27千米。

第二問不能把數據直接相加，因為距離不能為負，所以利用絕對值的非負性，把數據的絕對值相加：

|14| |-9| |18| |-7| |13| |-6| |10| |-6|=83

83×0.1=8.3

答：共耗油8.3升。

例4．三台生産同一種産品的機器 M₁、M₂、M₃在 x 軸上的位置如圖所示．M₁、

M₂、M₃生産該産品的效率之比為 2：1：3，它們生産的産品都需要沿着 x 軸運

送到檢驗台檢驗，而移動所需費用與移動的距離成正比．問檢驗台應該設在 x軸上的何處，才能使移動産品所花費的費用最省？

解：設檢驗台應該設在 x 軸上的 P 處，P 點表示的數為 x，

根據題意得到移動的距離總和 S=1×|x 2| 2×|x-1| 3×|x-3|

=|x 2| 2|x-1| 3|x-3|，

當 x≤-2 時，S=-x-2-2x 2-3x 9=-6x 9，此時 x=-2 時，S 的值最小為 21；

當-2＜x＜1 時，S=x 2-2x 2-3x 9=-4x 13，S 沒有最小值；

當 1≤x≤3 時，S=x 2 2x-2-3x 9=9，此時 S 的值不變，等于 9；

當 x＞3 時，S=x 2 2x-2 3x-9=6x-9，此時 S 沒有最小值．

因為移動所需費用與移動的距離成正比，而 1≤x≤3 時，移動的距離總和最小，

所以檢驗台應該設在 x 軸上的 M₁與 M₃之間（包括 M₁與 M₃），才能使移動産品所花費的費用最省．

例4 不相等的有理數a、b、c在數軸上的對應點分别為A，B，C，如果

|a-b| |b-c|=|a-c|，那麼B點應為( )

(1)在AC點的右邊；(2)在A，C點的左邊；

(3)在A，C點之間

(4)以上三種情況都有可能

解：|a-b| |b-c|=|a-c|的幾何意義：數軸上表示a、b、c三個數的點之間的距離關系，a到b的距離，即b到a的距離與到c的距離的和等于a與c之間的距離，因而點B在A，C之間，選(3).

例5 已知|x-1| |x-5|=4，求x的取值範圍。

解:設定點A，B在數軸上對應的數分别是1和5，動點P對應的數是x，因為

AB=|1-5|=4，所以點P在線段AB上，即x的取值範圍是1≤x≤5.

也可以用絕對值的代數意義來解：

當x<1時，|x-1| |x-5|=1-x 5-x=6-2x>4；

當1≤x≤5時，|x-1| |x-5|=x-1 5-x=4；

當x>5時，|x-1| |x-5|=x-1 x-5=2x-6>4；

綜上所述，x的取值範圍是1≤x≤5.

85．已知|x-3| |x 2|的最小值是 a，|x 3|-|x 2|的最大值是 b，求 a b 的值．

解：把|x-3|看成是數軸上點 x 到 3 的距離，|x 2|看成是數軸上點 x 到-2 的距離，所求的值就是表示數 x 的點到-2、3 的距離的和，最小值顯然是-2 到 3 的距離為 5，故 a=5

同理，|x-3|-|x 2|則可以看成數軸上表示數 x 的點到 3 與-2 的距離的差，最大值就是 3 與-2 之間的距離，也是 5，從而 b=5，

故 a b=10．

95．閱讀下列材料，回答問題：

我們知道|x|的幾何意義是在數軸上數 x 對應的點與原點的距離，即|x|=|x-0|，也就是說，|x|表示在數軸上數 x 與數 0 對應的點之間的距離；這個結論可以推廣

為|x₁-x₂|表示在數軸上數 x₁與數 x₂對應的點之間的距離；

例 1．解方程|x|=2．因為在數軸上到原點的距離為 2 的點對應的數為±2，所以

方程|x|=2 的解為 x=±2．

圖一

例 2．解不等式|x-1|＞2．在數軸上找出|x-1|=2 的解（如圖 1），因為在數軸上

到 1 對應的點的距離等于 2 的點對應的數為-1 或 3，所以方程|x-1|=2 的解為

x=-1 或 x=3，因此不等式|x-1|＞2 的解集為 x＜-1 或 x＞3．

圖二

例 3．解方程|x-1| |x 2|=5．由絕對值的幾何意義知，該方程就是求在數軸上

到 1 和-2 對應的點的距離之和等于 5 的點對應的 x 的值．因為在數軸上 1 和-2

對應的點的距離為 3（如圖 2），滿足方程的 x 對應的點在 1的右邊或-2的左邊．若

x 對應的點在 1 的右邊，可得 x=2；若 x 對應的點在-2 的左邊，可得 x=-3，因

此方程|x-1| |x 2|=5 的解是 x=2 或 x=-3．

參考閱讀材料，解答下列問題：

（1）方程|x 3|=4 的解為_______；

（2）解不等式：|x-3|≥5；

（3）解不等式：|x-3| |x 4|≥9．

解：（1）∵在數軸上到-3 對應的點的距離等于 4 的點對應的數為 1 或-7，

∴方程|x 3|=4 的解為 x=1 或 x=-7．

（2）在數軸上找出|x-3|=5 的解．

∵在數軸上到 3 對應的點的距離等于 5 的點對應的數為-2 或 8，

∴方程|x-3|=5 的解為 x=-2 或 x=8，

∴不等式|x-3|≥5 的解集為 x≤-2 或 x≥8．

（3）在數軸上找出|x-3| |x 4|=9 的解．

由絕對值的幾何意義知，該方程就是求在數軸上到 3 和-4 對應的點的距離之和

等于 9 的點對應的 x 的值．

∵在數軸上 3 和-4 對應的點的距離為 7，

∴滿足方程的 x 對應的點在 3 的右邊或-4 的左邊．

若 x 對應的點在 3 的右邊，可得 x=4；若 x 對應的點在-4 的左邊，可得 x=-5，

∴方程|x-3| |x 4|=9 的解是 x=4 或 x=-5，

∴不等式|x-3| |x 4|≥9 的解集為 x≥4 或 x≤-5．

107．将 1，2，…，100 這 100 個正整數任意分成 50 組，每組兩個數．現将每組兩個數中的一個記為 a，另一個記為 b，代入 中進行計算，并求出結果．50 組都代入後，可求得 50 個值，求這 50 個值的和的最大值．

解：①若 a≥b，則代數式中絕對值符号可直接去掉，

∴代數式等于 a，

②若 b＞a 則絕對值内符号相反，

∴代數式等于 b

由此可見輸入一對數字，可以得到這對數字中大的那個數（這跟誰是 a 誰是 b

無關）

既然是求和，那就要把這五十個數加起來還要最大，

我們可以枚舉幾組數，找找規律，

如果 100 和 99 一組，那麼 99 就被浪費了，

因為輸入 100 和 99 這組數字，得到的隻是 100，

如果我們取兩組數字 100 和 1 一組，99 和 2 一組，

則這兩組數字代入再求和是 199，

如果我們這樣取 100 和 99，2 和 1，

則這兩組數字代入再求和是 102，

這樣，可以很明顯的看出，應避免大的數字和大的數字相遇這樣就可以使最後的和最大，由此一來，隻要 100 個自然數裡面最大的五十個數字從 51 到 100 任意兩個數字不同組，這樣最終求得五十個數之和最大值就是五十個數字從 51 到 100 的和，

51 52 53 … 100=3775．

108．有一台單功能計算器，對任意兩個整數隻能完成求差後再取絕對值的運算，

其運算過程是：輸入第一個整數 x₁，隻顯示不運算，接着再輸入整數 x₂後則顯

示|x₁-x₂|的結果．比如依次輸入 1，2，則輸出的結果是|1-2|=1；此後每輸入一個整數都是與前次顯示的結果進行求差後再取絕對值的運算．

（1）若小明依次輸入 1，2，3，4，則最後輸出的結果是_______；若将 1，2，

3，4 這 4 個整數任意的一個一個的輸入，全部輸入完畢後顯示的結果的最大值

是_______，最小值是_______；

（2）若随意地一個一個的輸入三個互不相等的正整數 2，a，b，全部輸入完畢

後顯示的最後結果設為 k，k 的最大值為 10，求 k 的最小值．

解：（1）根據題意可以得出：|1-2|=|-1|=1，|1-3|=|-2|=2，|2-4|=|-2|=2，

對于 1，2，3，4，按如下次序|||1-3|-4|-2|=0，|||1-3|-2|-4|=4，

故全部輸入完畢後顯示的結果的最大值是 4，最小值是 0；

故答案為：2，4，0；

（2）∵随意地一個一個的輸入三個互不相等的正整數 2，a，b，全部輸入完畢

後顯示的最後結果設為 k，k 的最大值為 10，

∴設 b 為較大數字，當 a=1 時，|b-|a-2||=|b-1|=10，

解得：b=11，

故此時任意輸入後得到的最小數為：|2-|11-1||=8，

設 b 為較大數字，當 b＞a＞2 時，|b-|a-2||=|b-a 2|=10，

則 b-a 2=10，即 b-a=8，則 a-b=-8，

故此時任意輸入後得到的最小數為：|a-|b-2||=|a-b 2|=6，

綜上所述：k 的最小值為 6．

109．從數碼 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任選 4 個數碼，用這四個數碼組

成數字最接近的兩個兩位數，并用 d 表示這兩個兩位數的差的絕對值（例如，

選取數碼 1，2，7，9），則 d=|27-19|=8），這樣，任意四個數碼就對應一個正

整數 d，求 d 的最大值．

109．解：顯然，兩位數的十位項肯定是相差最少的兩個數．由于 9 個數取 4 個，

所以至少有 2 個數字的差不大于 2．

因此要讓 d 盡量大的話，十位數最大也就相差 2．

要讓兩個兩位數盡量接近，那麼較小的十位數應該與較大的個位數組合，較大的

十位數與較小的個位數組合，那麼其差值就會比較小．

所以為了讓 d 最大化，個位數應該盡量接近．但是再接近其差值也不能小于 2，

因為一旦小于 2，這兩個數就會被選為十位數了．

所以最後的結論就是，要讓 d 最大化，這四個數字必須分别相差 2．

你可以設四個數分别為 A，A 2，A 4，A 6

那麼

d=|A×10 A 6-（A 2）×10-（A 4）|

d=|11A-11A 6-24|

d=18．

110．有一正整數列 1，2，3，…，2n-1、2n，現從中挑出 n 個數，從大到小

排列依次為 a₁，a₂，…，aₙ，另 n 個數從小到大排列依次為 b₁，b₂，…，bₙ．求

|a₁-b₁| |a₂-b₂| … |aₙ-bₙ|之所有可能的值．

解：令 n 1、n 2、n 3、…、2n 為大數，1、2、3、…、n 為小數．

設 aᵢ中必也有 n-k 個小數，則 bᵢ中必有 n-k 個大數，k 個小數，

其中 i=1，2，3，n，0≤k≤n，k∈Z

令：a₁，a₂，…，aₖ，bₖ₊₁，bₖ₊₂，…，bₙ 為大數，

b₁，b₂，…，bₖ，aₖ₊₁，aₖ₊₂，…，aₙ 為小數．故|a₁-b₁| |a₂-b₂| … |aₙ-bₙ|

=|a₁-b₁| |a₂-b₂| … |aₖ-bₖ| |aₖ₊₁-bₖ₊₁| |aₖ₊₂-bₖ₊₂| … |aₙ-bₙ|

=（a₁-b₁） （a₂-b₂） … （aₖ-bₖ） （bₖ₊₁-aₖ₊₁） （bₖ₊₂-aₖ₊₂） … （aₙ-bₙ）

=（（n 1） （n 2） … （2n））-（1 2 3 … n）

=n²．

奧數教程：絕對值的幾何意義

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