七年級下學期數學，三角形形狀的判定，三個知識點的應用。常見的比較特殊的三角形有等腰三角形，等邊三角形，直角三角形，等腰直角三角形，在初一階段，由于還沒有學習勾股定理，因此通過邊一般能判定等腰三角形和等邊三角形，通過角度可以判定等腰三角形，等邊三角形，直角三角形和等腰直角三角形。

例題1：已知a，b，c是△ABC的三邊長．

（1）若a，b，c滿足|a-b| （b-c）^2=0，試判斷△ABC的形狀；

（2）若a，b，c滿足（a-b）（b-c）=0，試判斷△ABC的形狀；

（3）化簡：|a b-c| |b-c-a|．

分析：（1）絕對值和平方都具有非負性，兩個非負數加起來要等于0，那麼說明兩個代數式都要等于0；

（2）兩個代數式的乘積等于0，即A·B=0，那麼有三種情況：①A=0；②B=0；③A=B=0；

（3）利用三角形的三邊關系得到a b-c＞0，b-c-a＜0，然後去絕對值符号後化簡。

解：（1）∵|a-b| （b-c）2=0，

∴a-b=0且b-c=0，

∴a=b=c，

∴△ABC為等邊三角形；

（2）∵（a-b）（b-c）=0，

∴a-b=0或b-c=0或a-b=0，b-c=0，

∴a=b或b=c或a=b=c，

∴△ABC為等腰三角形或等邊三角形；

（3）∵a，b，c是△ABC的三邊長，

∴a b-c＞0，b-c-a＜0，

∴原式=a b-c-（b-c-a）=a b-c-b c a=2a．

此題考查三角形的三邊關系和三角形分類，利用三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，建立不等式解決問題。

例題2：常見的分解因式的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多項式既沒有公因式，也不能直接運用公式分解因式，但是某些項通過适當的調整能構成可分解的一組，用分組來分解一個多項式的因式，這種方法叫分組分解法．

如x^2 2xy y^2-16，我們細心觀察這個式子就會發現，前三項符合完全平方公式，分解後與後面的部分結合起來又符合平方差公式，可以繼續分解，過程為：x^2 2xy y^2-16=（x y）^2-4^2=（x y 4）（x y-4）．

它并不是一種獨立的因式分解的方法，而是為提公因式或運用公式分解因式創造條件．閱讀材料并解答下列問題：若△ABC的三邊a，b，c滿足a2-ab-ac bc=0，請判斷△ABC的形狀并加以說明.

分析：前兩項提取公因式a，後兩項提取公因式-c，再提取公因式（a-b），得到（a-b）（a-c）=0，從而a=b或a=c或a=b=c，從而得出答案。

解：△ABC是等腰三角形或等邊三角形．

理由如下：∵a^2-ab-ac bc=0，

∴a（a-b）-c（a-b）=0，

∴（a-b）（a-c）=0，

∴a=b或a=c或a=b=c，∴△ABC是等腰三角形或等邊三角形．

本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵。

例題3：已知a、b、c為△ABC的三邊，且（a-1）2 （b-1）2 c2=2c-1，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

​分析：先把等号右邊的移項，會發現c^2-2c 1是完全平方式，然後再進行計算即可．

​解：△ABC是等邊三角形，

理由是：∵（a-1）^2 （b-1）^2 c^2=2c-1，

∴（a-1）^2 （b-1）^2 c^2-2c 1=0，

∴（a-1）^2 （b-1）^2 （c-1）^2=0，

∴a-1=0，b-1=0，c-1=0，

∴a=1，b=1，c=1，

∴a=b=c，∴△ABC是等邊三角形．

例題4：△ABC中，如果∠A ∠B=∠C，判斷△ABC形狀

​分析：在△ABC中，∠A ∠B=∠C，∠A ∠B ∠C=180°可求出∠C的度數，進而得出結論。

​解：∵在△ABC中，∠A ∠B=∠C，∠A ∠B ∠C=180°，

∴2∠C=180°，解得∠C=90°，

∴△ABC是直角三角形．

例題5：在△ABC中，∠A=∠B，∠A ∠C=3∠B，則△ABC的形狀

​分析：由∠A ∠C=3∠B，∠A ∠B ∠C=180°，求出∠B的度數，進而求出∠A與∠C的度數即可判斷。

​解：∵∠A ∠C=3∠B，∠A ∠B ∠C=180°，

∴∠B 3∠B=180°，

∴∠B=45°，∴∠A=∠B=45°，∴∠C=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形。

例題6：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，則該三角形的形狀

​分析：根據比例設∠A、∠B、∠C分别為k、2k、3k，然後根據三角形内角和定理列式進行計算求出k值，再求出最大的角∠A即可得解．

​解：設∠A、∠B、∠C分别為k、2k、3k，則k 3k 2k=180°，∴k=30°，∴∠C=3k=90°，∴該三角形的形狀是直角三角形。

這些題目考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此題的關鍵。

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