山居秋暝——浣女歸來

相當美的一首詩，從詩中就能想象得到，在清澈的河流旁坐着位端莊的淑女，一件件衣服，像河水裡的魚兒，污漬随着河流而下，浣女的臉上露出了微笑。

當然，我們從環保角度來講這樣洗衣服是不好的，不僅浪費水資源還污染環境，不提倡，那麼問題來了：是不是衣服洗的次數越多，越幹淨呢？

請看這個問題：假如洗衣機裡有一缸用洗衣粉洗好第一遍的衣服，再清洗就可以了，假如污漬（洗衣粉泡沫加上污漬）重a千克，現在共有30千克水，那麼是先加入少量水再加入大量水洗，還是先加入大量水後加入少量水洗？這兩種方法哪種洗的更幹淨呢？還有沒有更好的方案呢？

假設第一遍洗過的衣服連水共重10千克，設将30千克水分n次來使用，水量分别是w1,W2,W3,……Wn，且

第一次，将衣服放在W1千克的水中漂洗，設a千克的污漬均勻溶在（W1 10）千克水中，漂洗後，衣服連水仍然重10千克。那麼，根據比例關系，我們可以求出，經過第一次漂洗後，污漬還剩a1，見下圖

同理，經過第二次漂洗，污漬剩餘a2，見下圖

以此類推，進行到最後一次時，衣服上殘留的污漬重量為：

從上式中知：a是常數，要使殘留污漬的量最小，必須使等号右邊的分母最大，即

最大即可.

任意n個非負實數，W1,W2,W3,……Wn，的算術平均值不小于它們的幾何平均. 如下式：

等号的取得條件是：W1=W2=W3=……Wn.

将此不等式用于

得：

即：

且當W1=W2=W3=……=Wn時，即将30千克水平均分n份時，污漬殘留最少，效果最好。

很明顯，分得次數越多，殘留越少，效果越好，那麼，從綜合角度考慮，将時間因素，衣物磨損因素等加進去，n取多少時最好呢，兩次？三次？五次？十次？它們之間的差别有多大呢？在這裡，我們設

見下表：

從表中可以看出，分三次洗的話，污漬重量已經不足原來的八分之一了，以後的變化率不是太大，已經很幹淨了，所以綜合考慮的話，漂洗三次為最佳，省錢，環保，節能。

我們研究數學要深層次些，因為上表中各項數據仍在變化，它們是否收斂呢？（有無最值），我們将n值放大，見下表：

由表可見，當n取100億和1000億時，剩餘污漬量趨于相同，接近20.0855419……

下面，我們再将Wmax那一行的數字開3次方（為什麼開3次方，因為水的重量30千克是衣服重量10千克的3倍），得結果如下：

沒錯，這就是歐拉發現的自然底數e≈2.71828……它和圓周率在數學上的地位同等重要，并且這兩個數也有着千絲萬縷的聯系，我們下次再介紹這個神奇的數字e.

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