【分析方法導引】

當幾何問題中出現了直角三角形斜邊上的中點時，就應想到要應用直角三角形斜邊上的中線的基本圖形的性質進行證明。接下來就應将斜邊上的中線添上。進一步的分析就是：若斜邊上的中點是條件，則直接推得斜邊上的中線等于斜邊的一半，并可直接應用兩等腰三角形推得角之間的等量關系。若斜邊上的中點是要證明的結論，則應轉而證明要證相等的這兩條線段都和這條斜邊上的中線相等，也就是轉化為等腰三角形的判定問題或者也就是證明角相等的問題。進一步也就是應用線段相等與角相等之間的等價關系來完成分析。

當幾何問題中出現了線段之間的倍半關系，且倍線段是直角三角形的斜邊時，就應想到要應用直角三角形斜邊上的基本圖形進行證明。接下來就應将斜邊上的中線添上，得到這條斜邊上的中線等于斜邊的一半，和相應的角之間的等量關系和倍半關系，問題就轉化成要證明問題中出現的倍半關系中的半線段與這條斜邊上的中線相等。

當幾何問題中出現了兩個角之間的倍半關系，且其中的半角是一個直角三角形的銳角時，就可想到要應用直角三角形斜邊上的中線的基本圖形進行證明。接下來的問題也是将斜邊上的中線添上，然後可應用兩個等腰三角形的頂角的外角等于底角的兩倍的性質來完成分析。

圖3-214

分析:本題的條件中出現了∠C=90°和D是斜邊AB的中點，所以可應用直角三角形斜邊上的中線的基本圖形進行證明。由于圖形中隻有直角三角形而沒有斜邊上的中線，所以應将斜邊上的中線添上，也就是連結CD(如圖3-215)，即可得CD=AD= BD，∠A=∠DCA，這樣問題就成為應證∠F=1/2·∠DCA。

圖3-215

由條件CE=BD，又可得CE=CD，這是兩條具有公共端點C的相等線段，它們就可以組成一個等腰三角形，而要證明的性質中的倍角，即∠DCA就是這個等腰三角形的頂角。

現在我們要證明的性質是兩個角之間的倍半關系，所以可根據角的倍半關系的定義，将大的角兩等分，也就是作∠DCA的角平分線并交DE于G後(如圖3-216)，證明它的一半，亦即∠ECG和∠F相等。由于我們作的是等腰三角形頂角的角平分線，所以可應用等腰三角形中重要線段的基本圖形的性質得CG⊥DE， 而已知∠ECF=90°，這樣CG就成為直角△EFC的斜邊上的高，于是應用直角三角形斜邊上的高的基本圖形的性質就能推得∠ECG=∠F。

圖3-216

在證明兩個角的倍關系時，也可以根據角的倍半關系的定義，作出小的角的兩倍，再證明所作出的角與大的角相等，于是以FC為邊，F為頂點作∠CFG=∠CFE，且交AC的延長線于G(如圖3-217)，問題就成為要證∠EFG=∠DCE。由于作出FG後CF就是∠EFG的角平分線，且EG⊥FC，出現了角平分線和向角平分線所作垂線之間的組合關系，從而可得到△FEG是等腰三角形，亦即FE=FG，而我們已證△CDE也是等腰三角形，CE=CD，且這兩個等腰三角形有一個公共的底角，即∠DEC，所以它們的頂角必定相等，分析也就可以完成。

圖3-217

例8 如圖3-218，已知：D是半圓O的直徑AB上的一點，AC是弦，過D作AB的垂線交AC于E，交BC的延長線于F，過C作半圓的切線交EF于G。求證:EG=FG。

圖3-218

分析:本題條件中出現AB是半圓的直徑，C是半圓上的一點，所以可應用半圓上的圓周角的基本圖形的性質進行證明，于是可得∠ACB=90°，又因為B、C、F成一直線，所以∠ECF也等于90°。

本題要證的結論是EG=FG，這樣就出現了G應是直角△FEC的斜邊的中點，從而就可應用直角三角形斜邊上的中線的基本圖形的性質進行證明(如圖3-219)，也就是要證明EG= FG，就應證明EG和FG都和CG相等，進一步也就是轉化為要證明EG=FG的等價性質∠GCE=∠GEC。

圖3-219

由條件GC與半圓相切于C，CA是過切點的弦，所以可應用弦切角的基本圖形的性質進行證明，也就可得∠GCA=∠B，這樣問題就成為要證∠GEC也等于∠B。從圖形上我們可以看出∠GEC是四邊形EDBC的一個外角，因此要證∠GEC=∠B，就應證E、D、B、 C四點共圓，而已知∠EDB=90°，已證明∠ECB=90°，所以E、D、B、C四點共圓可以證明。

在得到了∠GCE=∠GEC後，即可推得EG=CG，而由∠ECF=90°，又可推得∠GCF=∠F，又可得FG=CG，分析就可以完成。

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