大部分人都知道線性代數是學習任何技術學科都需要掌握的科目之一。而且我也注意到初次學習線性代數的學生往往對這一科目的理解很膚淺。

學生在教室中學到的可能是如何進行各種各樣的計算。比如矩陣乘法、行列式的計算。但是結果很可能是學生并非真正理解為什麼矩陣乘法要如此定義。也并不知叉積與行列式有所關聯，或者特征值究竟代表了什麼？大部分時候學生對于矩陣的數值操作駕輕就熟。但是對于潛在的幾何直觀知之甚少。

在數值水平和幾何水平上理解線性代數上有着根本性的差異。它們各有千秋，但是粗略的講，幾何水平上的理解能讓你判斷出解決特定問題需要用什麼樣的工具。感受到他們為什麼有用以及如何解讀最終結果。數值水平上的理解則能讓你順利利用這些工具。

假如你在學習線性代數時，并沒有幾何上的直觀理解作為堅實基礎。問題可能暫時不會浮出水面。但是當你在你的研究領域中繼續鑽研時，他就會顯露出來。不管是計算機科學，工程學，統計學，經濟學還是數學本身，這個道理都是一樣的。當你坐在教室裡或者你開始從事一項工作，都需要你通曉線性代數知識。你的教授或者同事所做的就如同魔法一般，他們很快就知道應該使用什麼方法，以及答案大緻是什麼樣子。如果你猜測他們處理的是繁雜無章的數據，你可能還會以為他們有什麼奇特的計算方法。

打個比方，假如你首次學習正弦函數時，學到的是這樣一個無窮次多項式。你的作業隻是通過代入不同的數字，并做合理的截斷，來練習計算正弦函數的近似值。再假設你對三角形和正弦函數的關系有一點模糊的認識。但是确切是什麼關系你并不清楚，這也不是課程的重點所在。後來你參加了一門物理課程，正弦和餘弦函數随處可見。其他人很快就知道如何使用這些函數。并且大緻知道它的值是多少。你會覺得這很吓人對吧？仿佛那些适合做物理的人都有着計算機一般的大腦。而你在每個問題上都需要花費很長時間，蠢到無藥可救。

線性代數也差不多如此，幸運的是和三角函數很類似。線性代數也有許多隐藏其中的直觀理解，而且是可視化的直觀理解。但是和三角函數的例子不同。線性代數中計算和可視化直觀理解之間的聯系往往相當直接。當你消化了這些内容，真正理解了幾何直觀和數值計算的關系。這門科目的細節和他在實際生活中的應用就會顯得合情合理。

平心而論，目前很多教授也在努力向學生傳達幾何直觀思想。但是我的确認為大部分課程讓學生花在數值計算方面的時間太長了。尤其是在當今時代，我們有計算機來處理這些計算問題。在實踐中人們關注的則是概念層面的東西。對于這個問題你能做的是形成正确的幾何直觀。以便在接下來的學習中收獲累累碩果。同時對那些教授需要熟練掌握線性代數知識的課程的教育者來說。給學生一個途徑指導他們快速重溫線性代數知識。

由于大家有着不同的知識背景和接受程度，很難同時照顧到所有人。所以我鼓勵大家必要時仔細思考。

線性代數中最基礎最根源的組成部成部就是向量。所以我的确信我們在“向量究竟是什麼”這一問題上達成共識。

一般來說有三種看待向量的觀點，看似不同卻有關聯。分别将他們稱為物理專業學生的視角，計算機專業學生的視角以及數學家的視角。從物理專業學生的視角看，向量是空間中的箭頭，決定一個向量的是它的長度和它所指的方向，但是隻要以上兩個特征相同，你可以自由移動一個向量而保持它不變，

處在平面中的向量是二維的。而處在我們所生活的空間中的向量是三維的。

從計算機專業學生的視角看，向量是有序的數字列表。比如說你正在做一些有關房價的分析。而你隻關心兩個特征，房屋面積和價格。你可能會用一對數字對每個房屋進行建模。第一個數代表房屋面積，第二個數代表房屋價格。注意這裡的數字順序不可颠倒。用行話來講，你會用二維向量對房屋進行建模。在這裡“向量”隻不過是“列表”的一個花哨的說法。之所以這個向量是二維的，是因為這個列表的長度是2。

另一方面，數學家試圖去概括兩種觀點。大緻的說，向量可以使任何東西。隻要保證兩個向量相加以及數字與向量相乘是有意義的即可。這種看待向量的觀點相當抽象。這觀點暗示了一個事實。即向量加法和向量數乘貫穿線性代數的始終，二者起着很重要的作用。

在談論這些運算之前呢，我們先來确定一種思考向量的特定方式。每當引入一個關于向量的新主題時，我們需要你首先考慮一個箭頭。更具體地說考慮這個箭頭落在某個坐标系中比如x y平面。并且箭頭起點位于原點。這與物理專業學生的看法略有不同。因為在他們眼中，向量可以在空間中自由落腳。但是在線性代數中向量經常以原點作為起點。

一旦你理解了“向量是空間中的箭頭”這種觀點。我們就來看看“向量是有序的數字列表”這種觀點。我們可以通過向量坐标來理解他。我們中大部分都已經很熟悉坐标系這個概念的，我也很清楚這一點。但是這也值得再詳細叙述一遍。因為這兩種觀點之間的碰撞恰恰形成了線性代數中重要的概念。

我們現在把眼光局限在二維空間中。畫一條水平的線，我們叫他x軸。再畫一條豎着的線，我們叫他y軸。兩個軸的交點我們稱之為原點。應該把它看作整個空間的中心和所有向量的根源。選取一個任意的長度代表1，你就可以在坐标軸上标記刻度來代表這一距離。一個向量的坐标由一對數構成。這種數教導你如何從原點也就是向量的起點出發到達它的尖端也就是向量的終點。第一個數告訴你，沿x軸走多遠。正數代表向右移動，負數代表向左移動。第二個數告訴你在此之後沿着平行y軸的方向走多遠。正數代表向上移動，負數代表向下移動。

為了把向量和點區别開，慣用的方法把這對數豎着寫，然後用方括号括起來。每一對數給出唯一一個向量。而每一個向量恰好對應唯一一對數。

三維空間的向量又如何呢？那我們就在添加垂直于x和y軸的第三根軸叫他z軸。這種情況下每個向量就與一個有序的三元數組對應。每一個三元數組給出唯一一個向量。而每一個向量恰好對于唯一一個三元數組。現在我們回到向量加法和向量數乘。畢竟線性代數中每一個主題都圍繞這兩種運算。兩種運算的定義都很直接。假設這裡有兩個向量，一個指向上方略微偏右。另一個指向右方略微偏下。為了把它們相加，我們平移第二個向量，使它的起點與第一個向量的終點重合。然後畫一個向量，它從第一個向量的起點出發指向第二個向量的終點。這個向量就是他們的和。

我們習慣上把向量看作是一種特定的運動，即在空間中朝着一個方向邁出一定距離。現在我們從數字的角度看看向量的加法。第一個向量的坐标是〔1，2〕，第二個向量的坐标是〔3，-1〕。那麼新向量的坐标就是〔1 2，2 （-1）〕總得來說，在“向量是有序的數字列表”觀點裡。向量加法就是把對應項相加。

另一個基礎的向量運算就是向量數乘。先看幾個例子來更好地理解這個概念。比如說你選擇數字2，把它與一個給定向量相乘。意味着你把這個向量拉長為原向量的兩倍。再比如，如果将向量乘以1/3，就意味着這個線的長度縮短為原來的1/3。如果與一個負數相乘，那麼首先這個向量反向，然後延長為原來的多少倍。這種拉伸或者壓縮有時又使向量反向的過程被稱為縮放。

實際上自始至終數字在線性代數中起到的主要作用就是縮放向量。所以通常“标量”和“數字”兩個詞在這裡可以相互替換。

另一方面從數字的角度來看将一個向量伸長為原來的兩倍，對于将每一個分量分别乘以2，所以将向量看作一個數字列表時，向量與标量相乘，就是将向量中的每個分量與标量相乘。實際上無論你怎麼看待向量都無所謂。或把向量看作空間中的箭頭。這種觀點恰好有漂亮的數字表示與之對應。或者把向量看着數字列表，這種觀點又恰好有漂亮的幾何意義與之對應。

線性代數的效用很少體現在這些觀點中的其中一個，更多體現在它能夠在這些觀點中相互轉化。

線性代數為數據分析提供了一條将大量數據列表概念化、可視化的渠道。他讓數字樣式變得非常明晰。并讓你大緻了解特定運算的意義。另一方面，線性代數給物理學家和計算機圖形程序員提供了一種語言。讓他們通過計算機能處理的數字來描述并操縱空間。

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