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上三角矩陣的值是唯一的嗎

圖文更新时间:2024-07-19 06:17:27

三角函數的初等數學定義

在直角三角形中，當平面上的三點A、B、C的連線，AB、AC、BC，構成一個直角三角形，其中∠ABC為直角。對∠ABC而言，對邊（opposite）、斜邊（hypotenuse）、鄰邊（adjacent），則存在以下關系：

上三角矩陣的值是唯一的嗎（矩陣的三角函數是個什麼鬼）1

上三角矩陣的值是唯一的嗎（矩陣的三角函數是個什麼鬼）2

基本函數	英文	縮寫	表達式	語言描述
正弦函數	sine	sin		∠A的對邊比斜邊
餘弦函數	cosine	cos		∠A的鄰邊比斜邊
正切函數	tangent	tan		∠A的對邊比鄰邊
餘切函數	cotangent	cot		∠A的鄰邊比對邊
正割函數	secant	sec		∠A的斜邊比鄰邊
餘割函數	cosecant	csc		∠A的斜邊比對邊

矩陣的三角函數

矩陣的三角函數計算顯然不能從上述三角函數的初等數學中的定義推導出來，因此我們需要借助于三角函數的高等數學中的定義。

上三角矩陣的值是唯一的嗎（矩陣的三角函數是個什麼鬼）3

高等數學中三角函數采用無窮級數方式進行定義：

其中自變量是實數或複數。

上三角矩陣的值是唯一的嗎（矩陣的三角函數是個什麼鬼）4

今天，我們這裡假定自變量是一個階方塊矩陣，記為，則：

矩陣三角函數恒等式

，與對應

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先求二階單位矩陣的正弦值:

，即

上三角矩陣的值是唯一的嗎（矩陣的三角函數是個什麼鬼）6

同理可以求得

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，也即：

不難驗證。

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同樣，我們也可以直接計算：

上三角矩陣的值是唯一的嗎（矩陣的三角函數是個什麼鬼）9

計算到前三十項

上三角矩陣的值是唯一的嗎（矩陣的三角函數是個什麼鬼）10

上三角矩陣的值是唯一的嗎（矩陣的三角函數是個什麼鬼）11

也就是說

上三角矩陣的值是唯一的嗎（矩陣的三角函數是個什麼鬼）12

所以，我們完全有理由相信，對任意矩陣，有恒等式

（請有興趣的網友證明）

這個公式與三角函數恒等式完美對應。

根據指數為矩陣的指數函數是個什麼鬼？，我們知道：






...	...

所以

上三角矩陣的值是唯一的嗎（矩陣的三角函數是個什麼鬼）13

所以，

由于，所以可以推導出一個有趣的級數恒等式：。

上三角矩陣的值是唯一的嗎（矩陣的三角函數是個什麼鬼）14

，與對應

令，用GeoGebra驗證該恒等式成立：

改變方陣的值，二倍角三角函數恒等式都成立。這裡我們隻是采用了歸納法，演繹方法證明留給其他感興趣的學者。

很遺憾，不成立。另外，已驗證成立的其他恒等式：

上三角矩陣的值是唯一的嗎（矩陣的三角函數是個什麼鬼）15

，與對應；
，與對應，其中，是的逆矩陣，是對應的單位矩陣。
，與對應；
，與對應；
，，與三角函數的誘導公式對應；
，與對應；

上三角矩陣的值是唯一的嗎（矩陣的三角函數是個什麼鬼）16

結論

本文将三角函數的定義域從實數域推廣到矩陣，發現原三角函數很多性質在矩陣域仍然成立。

我不知道矩陣的三角函數的物理意義，更不明白其現實的潛在的使用價值，但這不是數學以及數學研究者的思索職責，因為數學是純粹形而上的東西，盡管它常常被用于解決形而下的物理世界的問題。

本文隻是在這些方面做了一個初步的探索，留下大量理論研究的空間。

上三角矩陣的值是唯一的嗎（矩陣的三角函數是個什麼鬼）17

2021年6月13日于安徽郎溪

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