我們不要關心求數列n項和的問題會不會在高考題或有關考試題中出現，當然出現的機會确是很高的。關鍵的是通過學習和探讨求數列前n項和的方法去領悟學習和思考的方法。幾種求和的方法把數學變形和分析、歸納總結、化繁為簡、化難為易等思想融合在一起，使思維得到一次系統的訓練和提高。頭腦的開化和思維的提升才是學習的主要目的。

求數列前n項的和，通常有下列七種方法和技巧。

一、利用等差數列和等比數列的求和公式例1、求數列

例2、求數列5, 55，555，5555，…，

，……的前項和。

解：∵

∴

二、用倒序相加法推導等差數列的前n項和公式的方法是倒序相加法。這個方法可以類推到一般，隻要前n項具有與兩端等距離項的和相等的數列這種特征都可用這種方法求和。例3、已知

是等差數列，求和

。

解：∵ ①

即

②

由① ②，得：

∵

∴

由等差數列的性質，易得：

故

于是

三、利用錯位相減法錯位相減法是一種常用的數列求和方法，主要應用于等比數列與等差數列相乘的形式。形如

，其中

為等差數列，

為等比數列，公比為q；列出

，再把所有式子同時乘以等比數列的公比，即

；然後錯一位，兩式相減即可。例4、求數列

的前n求和(x≠0，x≠1)。解：設

①則

②

由①-②，得：

于是

四、用化差相減法适用于分式形式的通項公式，基本原理是把一項拆成兩個或多個的差的形式，即

，然後累加時中間的許多項可以抵消。裂項湊錯位相加特征，注意前後式子相等，如果不相等就要乘以一個系數。

常用公式：

，

，

，

（a≠0），

例5、求數列

的前n求和。解：

例6、求數列

。解：∵

∴

基本原理點撥：代數式變形湊相消特征：

，由此可聯想求更高次方幂的n項和。如：

至此，一般規律就出現了，通過變形整理便可求出

的n項的和，以此類推，求n次方幂的問題就能徹底解決。從而

五、利用組合數求和公式法利用這個組合數公式，求某些特殊數列的前n和頗為方便。因為

，則

。例7、求數列

解：∵

，∴

例8、求數列

。解：∵

。

∴

，

六、用數學歸納法例9、求數列

的前n項和。解：

從而 假設

，則

于是 由數學歸納法，可知

例10、是否存在常數a，b，c，使得等式：

對一切自然數n都成立？并證明你的結論。

解：假設存在a，b，c ，使題中等式成立，則

當n=1時，有

，當n=2時，有

，當n=3時，有

。從而有

解之，得 a=3， b=11, c=10（提示： 此處用待定系數法求a, b , c值，可見待定系數法的重要）

于是 當n=1, 2, 3時下列等式成立

記

設 n=k時，

，則

于是 當n=k 1時等式也成立。

故 當a=3, b=11, c=10時，題設的等式對一切的自然數n都成立。

七、利用自然數方幂和公式此法是通項式展開将同次方幂合并以便用常用的自然數方幂和公式求和常用的自然數方幂有：

，

，

例11、求和。 解：∵

∴

總結：為了使利用自然數方幂公式更加熟練需記住常用的自然數方幂。一般要先對通項式展開進行同次方幂合并。

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