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分布函數的導數是密度函數

生活更新时间:2025-02-25 00:41:38

這個問題其實挺簡單，先看牛頓-萊布尼茨公式：

分布函數的導數是密度函數（二維概率密度fxy）1

圖1

注意到積分上限是x。

分布函數的導數是密度函數（二維概率密度fxy）2

注意到求導以後得出的函數的自變量是原函數的積分上限。

分布函數的導數是密度函數（二維概率密度fxy）3

圖2

把圖1的原函數變成圖2中的二維概率分布函數，注意到二重積分的上限是x,y，所以：

分布函數的導數是密度函數（二維概率密度fxy）4

分布函數的導數是密度函數（二維概率密度fxy）5

再看看邊緣分布函數：

分布函數的導數是密度函數（二維概率密度fxy）6

圖3

注意到圖3中的積分限，外部上限是x,而内部積分限是整個區域，這就是x的邊緣分布的含義：x是一個區域，而y是整個定義域。

分布函數的導數是密度函數（二維概率密度fxy）7

如上圖，這個隊列一共10排15列，Fx表示的意思就類似于：當x=1時，表示第一排有15人，等于2時表示前兩排有30人，等等，x是一個變量，而y是對于全部的列。

當對圖3求一次導數後，得到邊緣概率密度：

分布函數的導數是密度函數（二維概率密度fxy）8

注意，這裡的x是一個固定的值，就像任何函數f(x)一樣，表示的都是x是一個固定值的時候對應的函數值。這個結果隻要把圖3中的積分函數看作是

分布函數的導數是密度函數（二維概率密度fxy）9

按照牛頓萊布尼茨公式的方法就可以理解了。

同理得到：

分布函數的導數是密度函數（二維概率密度fxy）10

按照牛頓萊布尼茨公式的方法就可以理解了。

同理得到：

分布函數的導數是密度函數（二維概率密度fxy）11

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