本篇為說明在小學階段，能被1-12各數整除的數的性質，掌握這些性質，對我們加快做題速度，增加做題的準确性都有很大幫助。

一、數的整除性質

能被1整除：全體自然數；

能被2整除：偶數

能被3整除：各個數位上數字和能被3整除，這個數就能被3整除；

能被4整除：末兩位能被4整除，這個數就能被4整除；

能被5整除：尾數是0或5；

能被6整除：能被3整除的偶數；

能被7整除：若一個整數的個位數字截去，再從餘下的數中，減去個位數的2倍，如果差是7的倍數，則原數能被7整除（割尾法）；

這個數的末三位數與末三位以前的數字所組成的數之差（反過來也行）能被7整除。這個數就能被7整除；（去位相減法）

二、解釋

1. 為什麼末兩位能被4整除，這個數就能被4整除？

回答：這個數小于100時，最高位隻到十位，當然成立；

大于100時，我們可以設這個數為100*K AB（AB本應該是上劃線的，但因打不出，此處用斜體和下劃線表示，AB為一個兩位數），K=1時，這個數為1AB，K=2時，這個數為2AB，K=10時，這個數為10AB，以此類推；

很明顯，100*K是可以被4整除的，如果AB也可以被4整除，那麼100*K AB=4*（25K CD)（AB=4*CD，CD為整數），即能被4整除。

整除8同理。

2. 能被7、11、13整除，均可以用割尾法、去位相減法，但黃老師不建議使用，因為在我們小學階段，一般不會出現位數很多的數，用上述兩種方法，不見得會比直接除方便。

3. 記法：

整除1、2很簡單，不用單獨記

整除3、9一起記，均是各個數位和；

整除4、8一起記，均是看末幾位；

整除5、10一起記，均是看尾數；

整除6、12一起記，均是能滿足同時整除2個數；

整除11，特殊，單獨記；

整除7、13，一般不要求掌握

三、一般性質

1. 如果a、b都能被c整除，那麼它們的和與差也能被c整除。（下面“｜”代表“後面的數能被前面的數整除”的意思）

即：如果c｜a，c｜b，那麼c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那麼2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

2. 如果b與c的積能整除a，那麼b與c都能整除a。

即：如果bc｜a，那麼b｜a，c｜a。

3. 如果b、c都能整除a，且b和c互質，那麼b與c的積能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那麼bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,

那麼（2×7）｜28。

4. 如果c能整除b，b能整除a，那麼c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那麼c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那麼3｜27。

三、應用

例1：判斷1023456789這十位數能否被11整除？

解：奇位和：1 2 4 6 8=21，偶位和：0 3 5 7 9=24

24-21=3，不能被11 整除，所以這個十位數不能被11整除

注：這裡的奇位是指這個數的第一位、第三位、第五位等，并不是數字是奇數就是奇位，從左開始和從右開始都可以。

例2：判斷1059282是否是7的倍數？

解：把1059282分為1059和282兩個數.因為1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍數。

例3：在865後面補上三個數字，組成一個六位數，使它能分别被3、4、5整除，且使這個數值盡可能的小。

解：要求一：數字和（8 6＋5 a b c）是3的倍數。

要求二：末兩位能被4整除

要求三，末位數字c是0或5。

綜上：能被4整除的數的個位數不可能是5。

所以c隻能取0.

因而b隻能取自0，2，4，6，8中之一。

又因為8 6 5=19，19除以3餘1，所以，要求a b c即a b 0除以3餘2

為滿足題意“數值盡可能小”，隻需取a=0，b=2。

所以要求的六位數是865020。

例4：12345678987654321除本身之外的最大因數是？

此題略過，如有問題，可以公衆号裡提問。

例5：7_64_2，這個6位數能被72整除，求這個6位數？

解：根據上文中一般性質的第2條，能被72整除，一定能被8和9同時整除

因末三位中隻有一個數未知，故可先确定整除8；

即4_ 2可以整除8，易知，此處下劃線内填3；

再看整除9，除萬位外，各個數位數字和=7 6 4 3 2=22，所以萬位上填5。

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