讓我們先一起來看這個有趣的智力遊戲。

老師為了測試甲、乙、丙、丁4名學生的分析推理能力，拿了5頂式樣相同的帽子給他們看，并強調說：“這裡有兩頂白帽，一 頂紅帽，一頂黃帽，一頂藍帽。”接着他讓4人依序坐在4級台階 上，然後叫他們閉上眼睛，又給每人戴上一頂帽子。最後，他讓學生們睜開眼睛，并判斷自己頭上戴的帽子是什麼顔色。

結果是出人意料的。雖說坐在後面的人看得見前面的人所戴帽子的顔色，但甲、乙、丙3人看了看并想了想，都搖頭說猜不出來。

丁坐在最前面，他看不到别人的帽色，但此時卻發話了， 說他已經猜到自己所戴的帽子顔色。丁是如何斷定自己的帽色呢? 可能你已經猜出了遊戲的謎底。其實丁的判斷并不難，他是這樣思考的：

“甲得天獨厚坐得最高，能看到其餘3人的帽子，他為什麼說猜不出來呢? 肯定他看到了前面有人戴着白帽。因為假如前面的人都戴雜色帽的話，那麼他就能猜出自己所戴的非白帽莫屬了。再說乙，她可是個聰明人，甲的想法，她自然了如指掌。那麼她為什麼也說猜不到呢? 一定是她也看到了前面有人戴着白帽。不然的話，她就會從甲的态度和其他人的帽色，判斷自己戴着白帽。最後說丙，她的智商絕不比乙低，可她為什麼也說猜不到呢！理由隻能是一個，就是她看到了我頭上戴着白帽。”

就這樣，丁從衆人的否定中對自己的帽色作了肯定！

上面的遊戲可以推廣到多個人，但雜色帽要比人數少一，而白帽則至少兩頂。推理的方法是一樣的。隻是無論結論是肯定的還是否定的，思維都必須符合一定的規律。

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邏輯思維的基本規律是什麼呢？總的說有以下3條：

(1)同一律：即思維應自始至終保持統一。

(2)矛盾律：即思維中兩個相反或不相容的判斷不能都真。

(3)排中律：在思維過程中，對一個邏輯上的判斷，要麼肯定，要麼否定，非假即真。以上3條規律，從不同角度對人類正确思維的一貫性、确定 性和無矛盾性提出要求。

要指出的是：有不少人以為，由“是”與“不是”構成的句子 一定是相反的判斷。假如其中有一句是正确的，那麼另一句就一定不正确。實際上這種看法未必都對。以下 的 “阿契貝難題”，可能會使你感到驚訝不已！

阿契貝喜歡研究形式邏輯，有一次他遇到下面的兩句話：

“××是○○○”

“××不是○○○”

這兩句中，每句前面的 “× × ”表示相同的詞，後面的 “○○○”也表示相同的詞。它們的區别僅在于中間的“是”與 “不是”。然而，兩句卻都是正确的！可能有些讀者會感到不可思議，其實這是由于腦中過分萦繞着“A 不等于非 A”這類形式 邏輯觀點的緣故。但是，如果兩句話主語用詞雖則相同而所代表的内容卻不一樣的話，那麼即使表語一樣，也未必會出現邏輯上的矛盾。例如：

“本句是六字句。”

“本句不是六字句。”

這就是阿契貝難題的一種解答。兩句中，前一句與後一句的主語“本句”，其包含的内容是不相同的。

下面的故事将幫助你進一步熟悉邏輯思維的規律。

老虎占山為王，号令百獸。

一天，老虎肚子餓了，想變換花樣搞點動物吃吃。于是招來梅花鹿、狐狸、兔子和猴子，要大家說說它嘴裡的氣味，以考察它們的忠誠。

梅花鹿首先被指定回答，它據實禀報，說老虎口臭很重，結果以“诽謗”罪名被殺。狐狸見勢不妙，立即溜須拍馬。不料老虎卻不買這個賬。狐狸也被殺了。兔子膽戰心驚，兩眼出血。它吸取前車之鑒，誠惶誠恐地禀報：“陛下之口很難說是臭還是不臭。”老虎聽了，勃然大怒，說是決不允許騎牆折中者留存世間！最後輪到猴子，猴子撓了撓後腦，畢恭畢敬地走到老虎面前說：“大王，我最近有點感冒，鼻子不通，如能讓我回去休養幾天，等鼻子通了，我就能準确說出大王嘴裡的氣味。”老虎詞窮，隻好放走猴子。猴子自然乘機逃之夭夭。

故事到此為止，請讀者用邏輯觀點分析一下，為什麼梅花鹿、狐狸和兔子都沒能逃脫厄運，而唯獨猴子能轉危為安? 猴子的話有沒有違背排中律？

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有時人們從一些貌似正确可以接受的約定出發，經過簡明而正确的推理，竟然會得出自相矛盾的結論。這樣的議論稱為悖論。“悖”就是混亂、沖突的意思。例如給定一個命題A，同時會有：

A→B

A→B'

這裡B 與B’ 同時為真，這是違背邏輯規律的。

悖論在日常生活中并不少見。某圖書館為了方便讀者，将本館藏書每冊一号，編成一本“目錄”。現在問：這本“目錄”本 身是否編入目錄中? 這樣的問題可能會很使你為難。

古希臘是一個充滿神話的國家。有這麼一個傳說：一條鳄魚從一位母親手裡搶走了一個小孩。鳄魚想吃掉這個小孩，又希望名正言順，于是自作聰明地對這位母親說：

“我會不會吃掉你的孩子? 如果你答對了這個問題，我将把孩子不加傷害地還給你。”

這位母親思慮片刻回答道：“你要吃掉我的孩子的。”

這一來，貪婪的鳄魚遇到了難題：說孩子母親回答的不對吧，那麼我就可以吃掉她的孩子，但她明明說我要吃掉她的孩子，這豈不又成對的了嗎? 如果說她的回答是對的，這就是說我要吃掉她的孩子，但我又必須把孩子不加傷害地還她! 天哪! 這該怎麼辦？！

笨拙的鳄魚給弄懵了，為了假惺惺表示尊重諾言，隻好把孩子還給了這位機智的母親。

悖論源于相當久遠的年代。著名的“說謊者”悖論出現于公元前6世紀。大意是：克利特島上的E先生說：“克利特島上的人是說謊者。”無論怎樣理解都将出現矛盾。

在近代數學中最有影響的是所謂“羅素悖論”。1902年，英國數學家貝特朗·羅素(BertrandRussell，1872—1970)針對集合論初創時期基礎理論不夠完善，提出以下著名的問題：

“把所有集合分為兩類，第一類中的集合以其自身為元素， 第二類中的集合不以其自身為元素。假令第一類集合所組成的 集合為P，第二類集合所組成的集合為Q，于是有

P={A|A∈A}

Q={A|A∉A}

問：集合Q是屬于第一類集合P呢？還是屬于第二類集合Q？”

從邏輯上講，這個問題的回答隻能是“Q∈P”或“Q∈Q” 兩種，二者必居其一。然而無論哪種回答都會引申相反的結論。

羅素

悖論的産生，在邏輯上違背了人類正确思維所應遵循的基本規律。對素以嚴謹著稱的數學，悖論自然不能永久允許。但它卻可以促使數學家們去進行嚴肅的思考，并尋找導緻悖論的原因，從而創造出一個至少在邏輯上完美協調、無懈可擊的科學理論。

來源：《給孩子的數學故事書》

作者：張遠南 張昶

部分圖源于網絡

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