關于常數的導數，x的n次方的導數，以及正弦函數的導數以及餘弦函數的導數，我們由下圖給出，讀者可以在任何的高等數學課本中找到具體的推導過程，我們假定讀者已經知道了這些事實。
常數的導數，x的n次方的導數，以及正弦函數的導數以及餘弦函數的導數
我們假定正弦函數sinx可以被展開成a0*x^ a1*x^ a2*x^2 a3*x^3 a4*x^4 ....這樣的幂級數的形式，那麼右下圖可知，我們可以将這個幂級數求導，我們發現，正弦函數經過四次求導以後變為原來的函數即正弦函數，根據x的n次方函數的求導法則可以得到如下圖所示的關系，我們發現：對于任意n的an*x^n，隻需要經過n次求導就可以将n次項變為常數項。
我們現在将x=0帶入上圖的關系式中，這樣做的目的是為了消去這些含有x的項，得到具體的系數ai的值。
我們發現：偶次幂的項的系數都為0，而奇次幂的項的系數為對應奇次幂的階乘。
隻有正整數才有階乘，正整數n的階乘我們用n！來表示：
n！= 1×2×3×……×n
因此現在我們可以将sinx可以被展開成a0*x^ a1*x^ a2*x^2 a3*x^3 a4*x^4 ....這樣的幂級數的形式,即：
sinx= 1！*x^1 3！*x^3 5！*x^5 7！*x^7 ... （2n 1）！*x^（2n 1） ...
我們稱這樣的幂級數展開叫做正弦函數的泰勒展開。你可以自己推導出餘弦函數的泰勒展開嗎？請讀者自己試一試。
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