相關系數是用來衡量兩個變量間的線性關系，取值範圍為-1~ 1。相關系數為正表示變量間正相關（一個增長，另一個也增長），為負則表示負相關（一個增加，則另一個減少），越接近于0則表示關系越弱。

兩個觀測值序列X與Y間的相關系數定義如下：

相關系數定義式

注：其中Cov表示協方差，std表示标準差

相關性是協方差标準化後的形式，在部分場合下兩者是可以互換的，但本質上還是不同的。

我們先來看看如何獲取兩個變量X,Y之間的協方差：

示例代碼

可以看到這裡通過'[0][1]‘來獲取了最終的結果，這裡就要引入協方差矩陣了，協方差矩陣包含了任意兩元素的協方差，正對角線上表示一個元素與其自身的協方差(也就是其方差，COV(X,X)=var(X))，據此，相關系數的表達式又可有如下的表示：

相關系數定義式變換

相關系數就是協方差使用X與Y的标準差進行标準化的結果，對應于協方差矩陣，也就存在對應的相關系數矩陣。

接下來我們通過構造數據來觀察下相關系數矩陣：

第一步，我們構造一個存在線性關系的X與Y來看一看

協方差矩陣與相關系數矩陣

注：可以看到最終相關系數矩陣中元素全部為1

繪制出的圖形中所有所有的店都在一條直線上

繪制圖形

第二步，我們在X上加入人為的噪聲數據，噪聲數據我們通過np.random.normal()函數生成一個均值為0，标準差為0.1的正态分布序列，從散點圖上可以看出，已經在線性的基礎上發生了一些偏離

加入噪聲數據後

此時，我們再計算一下相關系數矩陣：

引入噪聲後相關系數矩陣

注：可以看到X與Y的相關系數已經從1下降為0.94

第三步，我們将噪聲數據偏離程度再加大寫，标準差由0.1調整為0.2，再來看看現在的散點圖

加大噪聲數據後散點圖

可以看到線性關系變得更加不明顯，再次來計算下相關系數矩陣

噪聲加強後的相關系數矩陣

可以看到相關系數确實進一步降低了。

一旦我們從序列數據中找出了關聯性，就可以利用其去預測未來的資産價格。通過蘋果公司(AAPL)與半導體制造商泛林（LRCX）股票價格數據，可以得到其之間明顯存在線性關系。

示例代碼

繪制出得散點圖也可看出明顯的線性關系：

散點圖

同時，在構建投資組合時，通常為了降低組合風險程度，保持組合收益的穩定性，需要引入非關聯性資産。

相關性分析是金融分析中一個強有力的工具，但是其也有很多使用的限制

1. 顯著性

   很難嚴格地去斷定相關性是否顯著，尤其是變量不滿足正态分布時。例如上文中蘋果與泛林間相關系數很接近于1，可以認為在選定的時期内兩者的股價線性關聯很強，但是未來是否還會保持這種線性關系，不得而知。。我們如果引入标普500ETF的價格數據，可以發現蘋果、泛林都與其有很強的相關性，所以隻能說蘋果與泛林間的線性關系略高于普通股票而已。

   

   示例代碼

2. 非線性關系

   相關系數可以有效的檢查兩個變量間的線性關系強弱，但是對于非線性關系則不能很好的處理，例如一個變量會随另一個變量變化，但存在時間上的延遲，這塊就需要專門的延時相關性分析去處理。

同時，相關性分析對于異常值還非常敏感，一旦出現異常值，會對最終結果造成很大的影響。

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