抛物線的對稱性講解? 二次函數y=ax^2 bx c的圖象是以直線x=-b/2a為對稱軸的抛物線,根據軸對稱圖形的性質可得如下結論:,我來為大家科普一下關于抛物線的對稱性講解?以下内容希望對你有幫助!
二次函數y=ax^2 bx c的圖象是以直線x=-b/2a為對稱軸的抛物線,根據軸對稱圖形的性質可得如下結論:
(1)如果P、Q關于二次函數圖象的對稱軸對稱,則點P、Q同時或不在二次函數圖象上;
(2)設P(x1,y1)、Q(x2,y2)是二次函數圖象上的點,如果y1=y2,則P、Q關于二次函數圖象的對稱軸對稱,且對稱軸是直線x=(x1 x2)/2.
運用二次函數圖象的對稱性可以巧妙地解決有關的問題。請看:
例1 已知二次函數的圖象經過點A(-3,12),B(3,0),C(5,12),求二次函數的解析式.
解析:常規解法是設二次函數解析式為y=ax^2 bx c,把A、B、C三點的坐标代入,再解關于a、b、c的三元一次方程組.而從圖象的對稱性入手可得如下簡便的解法:
解:因為A、C兩點的縱坐标相同,
所以抛物線的對稱軸是x=(-3+5)/2=1,
因為點B(3,0)關于直線x=1的對稱點為D(-1,0),
又點B在抛物線上,
所以點D也在抛物線上,
因此可設所求二次函數解析式為 y=a(x+1)(x-3),
把點C的坐标代入,得:
12=a(5+1)(5-3),解得a=1,
所以,二次函數的解析式為y=(x+1)(x-3),
即y=x^2-2x-3.
例2 已知抛物線y= ax^2+bx+c的頂點為(3,1),且在x軸上截得的線段長為2√3,求a、b、c的值.
解:由已知,抛物線的對稱軸為x=3,
設抛物線交x軸于點A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2),
則A 、B關于直線x=3對稱,
因為AB=2√3,
所以點A、B到直線x=3的距離相等都是√3,
即3-x1=x2-3=√3,
所以x1=3-√3,x2=3 √3,
所以抛物線的解析式可化為:
y=a(x-3 √3)(x-3-√3)
=a[(x-3)^2-3]
所以y=a(x-3)^2-3a……(1)
因為抛物線頂點為(3,1),
所以抛物線又可化為:
y=a(x-3)^2 1……(2)
比較(1)、(2)的系數,得:
-3a=1,所以a=-1/3.
所以y=(-1/3)(x-3)^2 1
化為一般式,得:
y=(-1/3)x^2 2x-2,
所以a=-1/3,b=2,c=-2.
例3已知二次函數y=ax^2 2ax c(a>0)的圖象經過點A(1,2),求當函數值y<2時,自變量x的取值範圍。
解:當y=2時,抛物線上的點除了點A(1,2)外,還有一個點A關于抛物線對稱軸對稱的點B,其坐标設為(m,2)。
因為抛物線y=ax^2 2ax c的對稱軸為:
x=-2a/(-2a)=-1,
所以-1-m=1-(-1),解得m=-3,
所以點B(-3,2),
因為a>0,抛物線開口向上,
所以當y<2時,自變量x的取值範圍為-3<x<1。
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