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抛物線的對稱性講解

生活 更新时间:2024-12-23 21:13:12

抛物線的對稱性講解? 二次函數y=ax^2 bx c的圖象是以直線x=-b/2a為對稱軸的抛物線,根據軸對稱圖形的性質可得如下結論:,我來為大家科普一下關于抛物線的對稱性講解?以下内容希望對你有幫助!

抛物線的對稱性講解(抛物線對稱性的運用)1

抛物線的對稱性講解

二次函數y=ax^2 bx c的圖象是以直線x=-b/2a為對稱軸的抛物線,根據軸對稱圖形的性質可得如下結論:

(1)如果P、Q關于二次函數圖象的對稱軸對稱,則點P、Q同時或不在二次函數圖象上;

(2)設P(x1,y1)、Q(x2,y2)是二次函數圖象上的點,如果y1=y2,則P、Q關于二次函數圖象的對稱軸對稱,且對稱軸是直線x=(x1 x2)/2.

運用二次函數圖象的對稱性可以巧妙地解決有關的問題。請看:

例1 已知二次函數的圖象經過點A(-3,12),B(3,0),C(5,12),求二次函數的解析式.

解析:常規解法是設二次函數解析式為y=ax^2 bx c,把ABC三點的坐标代入,再解關于abc的三元一次方程組.而從圖象的對稱性入手可得如下簡便的解法:

:因為AC兩點的縱坐标相同,

所以抛物線的對稱軸是x=(-3+5)/2=1,

因為點B(3,0)關于直線x=1的對稱點為D(-1,0),

又點B在抛物線上,

所以點D也在抛物線上,

因此可設所求二次函數解析式為 yax+1)(x-3),

把點C的坐标代入,得:

12=a(5+1)(5-3),解得a=1,

所以,二次函數的解析式為y=(x+1)(x-3),

y=x^2-2x-3.

例2 已知抛物線y ax^2bxc的頂點為(3,1),且在x軸上截得的線段長為2√3,求abc的值.

:由已知,抛物線的對稱軸為x=3,

設抛物線交x軸于點A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2),

則A 、B關于直線x=3對稱,

因為AB=2√3,

所以點AB到直線x=3的距離相等都是√3,

即3-x1=x2-3=√3,

所以x1=3-√3,x2=3 √3,

所以抛物線的解析式可化為:

y=a(x-3 √3)(x-3-√3)

=a[(x-3)^2-3]

所以y=a(x-3)^2-3a……(1)

因為抛物線頂點為(3,1),

所以抛物線又可化為:

y=a(x-3)^2 1……(2)

比較(1)、(2)的系數,得:

-3a=1,所以a=-1/3.

所以y=(-1/3)(x-3)^2 1

化為一般式,得:

y=(-1/3)x^2 2x-2,

所以a=-1/3,b=2,c=-2.

例3已知二次函數y=ax^2 2ax c(a>0)的圖象經過點A(1,2),求當函數值y<2時,自變量x的取值範圍。

:當y=2時,抛物線上的點除了點A(1,2)外,還有一個點A關于抛物線對稱軸對稱的點B,其坐标設為(m,2)。

因為抛物線y=ax^2 2ax c的對稱軸為:

x=-2a/(-2a)=-1,

所以-1-m=1-(-1),解得m=-3,

所以點B(-3,2),

因為a>0,抛物線開口向上,

所以當y<2時,自變量x的取值範圍為-3<x<1。

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