1. 家醜

權力已達巅峰的埃及之王托勒密一世發現自己也不是無所不能的，在幾何學的學習上他就感到了一些吃力，于是他把一位老人叫到了他的面前，他問道幾何學有沒有一些簡單的學習方法，老人傲然答道：“數學無王者之道”。

面對如此倨傲的老人，托勒密也無可奈何，因為這位老人才是真正的王者，和老人比起來，他這個俗世之王隻能是微不足道了。

這位老人就是歐幾裡得。

在歐幾裡得之前，人們已經很多的幾何知識，不過這些幾何知識都是零散的碎片化的，歐幾裡得打算把這些知識系統化，經過多年總結整理，在公元前300年左右，歐幾裡得終于完成了巨著《幾何原本》，其實《幾何原本》這個名字還是一個錯誤的翻譯，這是利瑪窦和徐光啟在翻譯的時候替歐幾裡得謙虛了一下，歐幾裡得最初命名就是《原本》，歐幾裡得認為他的著作就是宇宙的基礎整理，可以想見這位幾何之王的狂妄。

歐幾裡得确實值得這麼狂妄，首先直到現在《幾何原本》還是各國中學教材，我們大部分人知道的幾何知識都來自于歐幾裡得，這還不是最重要的。

歐幾裡得還創造了一種新的科學方法，這就是“公理化”。

“公理化”思想就是用一條或者幾條不證自明的公理來推導出整個科學大廈，這個方法是一切科學的基礎，譬如牛頓就用絕對時空的概念推導出來了整個牛頓力學，不過這種方法也有一個很大的缺點，要是最初的公理被證明是錯的，那麼大廈也會一夜崩塌，就是兩朵小烏雲動搖了整個牛頓力學的基石。

這對于幾何學同樣成立。

我們先來看看歐幾裡得幾何的基石。

1. 任意兩個點可以通過一條直線連接。

2. 任意線段能無限延伸成一條直線。

3. 給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。

4. 所有直角都全等。

5. 若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的内角之和小于兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交

這就是歐幾裡得的五條公設。

我們都遇到過一類考題，就是挑出其中不屬于同一類的選項，現在看看這五條公設，是不是有一條很别扭，這就是第五條公設也叫做平行公設。

對于其它四條公設來說，都非常簡潔，而第五條平行公設則很繁瑣，本來就是一個“兩直線平行同旁内角互補”，為什麼睿智的歐幾裡得一定要說這麼啰嗦呢？

莫非他覺得這條公設有問題？也真有可能，歐幾裡得本人對第五公設也有點排斥，直到卷一的命題29，他才不得不使用了第五公設。

其實不止歐幾裡得，對于第五公設數學家們也不喜歡，這是由于第五公設中引入了無限的概念，我們知道隻要出現無限就一定會出現問題，古希臘那些悖論什麼飛矢不動阿喀琉斯追不上烏龜了，都是涉及到了無限小，現在歐幾裡得又說到了無限大，肯定也會有問題，因此第五公設被數學家們成為“幾何的家醜”。

既然是家醜，當然不能靠遮蓋混過去，有了家醜，想方設法地去消除才是正确的辦法，那麼誰來消除幾何學的家醜呢？當然是幾何學中的哥白尼了。

2.幾何學中的哥白尼

幾何學中的哥白尼就是羅巴切夫斯基。

聽名字就知道這是一個俄羅斯人，這就注定了他命運的坎坷，俄羅斯從來不缺少偉大的科學家，可是這個國家總會費盡心機地去為難自己的天才，對化學家羅蒙諾索夫如是，對數學家羅巴切夫斯基亦如是。

羅巴切夫斯基出生在俄羅斯偏遠的馬卡裡耶夫城，七歲上他的父親就去世了，隻有寡母帶着他們兄弟三人艱難度日，所幸的是他們兄弟三人都很聰明，不過這對于一個貧寒的家庭來說，這好像是一個更大的不幸，總不能兄弟三人抓阄決定誰去讀書吧，就算抓阄也不行，他們所在的偏遠小城連中學都沒有，要想讀書，隻能背井離鄉去喀山。

這位偉大的母親為了孩子毫不猶豫地踏上了去喀山的路程，兄弟三人也沒有辜負母親的希望，都考上了喀山的公費生，幾年之後，14歲的羅巴切夫斯基進入了喀山大學。

在喀山大學，羅巴切夫斯基遇到了巴斯特，這個巴斯特可不簡單，他是數學王子高斯的好友，當年高斯解出來1 2 3 …… 100等于多少這道題的時候，巴斯特就在高斯身邊，不過他可不是高斯的同學，他是高斯的小學老師，這聽起來有些不可思議，高斯的小學老師居然成為了羅巴切夫斯基的大學老師，既然能和高斯成為好朋友，他的數學水平當然不會尋常。

遇到了這樣的好老師，羅巴切夫斯基自然是發奮學習，還不到19歲就拿到了碩士學位。出現了這樣的少年才俊，任何一個學校都會舉杯慶祝一下，何況是喀山大學這所剛剛成立的學校，可是在俄羅斯不是，喀山大學的校長不願意授予他學位，理由就是他太小了，這就是俄羅斯對自己天才的态度，所幸俄羅斯還有正義的人們，教授們集體反對校長的決定，校長不得不授予了他學位。

1816年，羅巴切夫斯基成為了喀山大學的教授，不止是教數學，他還要教授天文學和物理，這倒無所謂，多勞多得嘛，隻要多給錢，就是連化學也教了也可以呀，可是校長隻給一份工資，不過羅巴切夫斯基并不在乎，子曾經曰過誨人不倦嘛。可是校長卻是毀人不倦，看羅巴切夫斯基教了這麼多課程還精神抖擻，校長又把圖書館和博物館的工作也交給了他，當然了沒有加錢，就是生産隊的驢也不能這麼使喚呀，可是羅巴切夫斯基還是不在乎，在結束一天繁忙的工作之後，他居然還有時間研究第五公設。

羅巴切夫斯基決定采用一種新方法來解決這個家醜，那就是反證法。

經過簡化的第五公設可以這麼表達：經過直線外一點，隻能有一條直線和直線平行，那麼反過來隻要證明過直線外一點，有兩條或者兩條以上直線和直線平行就可以證明第五公設有問題了。

來看一下羅巴切夫斯基的證明過程吧。

首先給定一條直線a和直線外一點B，從B點引直線a的垂線BC，隻要存在兩條或者兩條以上通過B且不與a相交的直線就可以證明第五公設有問題，還是看圖吧。

從圖上可以看出，這何止是兩條呀，簡直就是無數條，羅巴切夫斯基就這樣證明了第五公設不正确。

注意一點呀，隻是第五公設不正确，和第五公設無關的歐式幾何還是沒問題的,由于羅巴切夫斯基的幾回合不是歐幾裡得幾何，所以就叫做非歐幾何。

羅巴切夫斯基公布了自己的論文後，他的同事們表示了沉默，羅巴切夫斯基明白沉默并不是認可，而是對他為人的尊重，他要的并不是尊重，而是認可。

羅巴切夫斯基把自己的論文整理一番，發表在了《喀山大學學報》上，這還是出于對他的尊重，因為這時候他已經是校長了。

在他的強烈要求下，學校把論文送到了彼得堡科學院，科學院沒有必要再對他抱以尊重，用極其嚴厲的語氣對他進行了批評，這些還無所謂，畢竟隻是科學内部之争，在科學之外，也引來了無數的惡意中傷。

有人匿名在俄羅斯雜志《祖國之子》上指明對他進行人身攻擊，這就相當于在後來的《真理報》上诋毀，可羅巴切夫斯基撰文反駁的時候，《祖國之子》的編輯卻以維護雜志聲譽的名字不予發表，現在可以看出來吧，俄羅斯對自己天才的态度不僅僅是某個人，而是制度性的。

僅僅是聲譽之争也還就算了，畢竟天才和凡人本來就生活在兩個世界，可是俄羅斯覺得對自己天才的摧殘程度還不夠，俄羅斯教育部又出手了。

俄羅斯大學委員會有一個規定，就是教授任期不得超過三十年，這本來是一個獎掖後進避免出現學閥的一個好制度，可是不管多麼好的制度也要有好人才行。

1846年，羅巴切夫斯基教授任期已滿，他向教育部提出免去他教研室的職務，可教育部早就看他不順眼了，這下終于抓住了機會，教育部借此免去了他所有的職務，并迫使他離開大學。

即便如此，羅巴切夫斯基也沒有喪失他的鬥志，他開始用德文法文寫文章，期望俄羅斯之外的聲音的支持，可是他聽到期望的聲音，反而引來了噪音，歌德這位偉大的詩人也來湊熱鬧吐槽他，歌德在《浮士德》中對他的研究冷嘲熱諷。

為什麼羅巴切夫斯基遭到了如此的待遇，還是由于他的研究有點驚世駭俗。

歐幾裡得幾何之所以得到人們的推崇，是由于歐式幾何更符合人們的日常所見，在羅巴切夫斯基看來，不但平行線有無數條，而且三角形的内角和也小于180°，還有根本就不存在相似多邊形，過不在同一條直線的三個點不一定能做一個圓，而這些都是我們眼睛看到的常識，羅巴切夫斯基違背了這些常識，自然會遭到人們的反對。

這就象當年的哥白尼一樣。

每天太陽東升西落，我們就很自然地認為日月星辰在圍繞着地球轉動，地球自然就是宇宙的核心，這就是地心說，可哥白尼認為滿天星辰包括地球都在圍繞着太陽旋轉，這違背了人們的常識，肯定會遭到人們的反對，也因此哥白尼在臨死前才出版了自己的著作，即便是這樣，哥白尼還是遭到了衆多非議。

可是真理的光輝是遮擋不住的，在開普勒伽利略的努力下，人們終于意識到了自己的局限，承認了哥白尼的成就。

1868年，意大利數學家貝特拉米發表了論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾裡得空間的曲面上實現。這就把非歐幾何和歐式幾何等價起來，要是歐式幾何正确，那麼非歐幾何也正确。

非歐幾何才開始獲得學術界的普遍注意和深入研究，對羅巴切夫斯基的贊譽也鋪天蓋地接踵而來，人們稱他為“幾何學中的哥白尼”，而此時，羅巴切夫斯基已經去世十二年了。

哥白尼為了避免人世間的紛擾采取了去世前才出版著作的辦法，那麼羅巴切夫斯基有沒有辦法改變自己的命運呢？

辦法還是有的，他隻要得到一個聲音的支持就可以了。

3.怯懦的數學王子

羅巴切夫斯基一直期盼的來自俄羅斯之外的聲音就是數學上的神。

要說科學史上誰最酷，當然是數學王子高斯。

都說是三歲看大，小高斯在三歲上就看出了父親賬目上的錯誤，這說明高斯長大後一定和數字相關，不過不一定是數學家，沒準是個會計呢，那就七歲看老吧，高斯在八歲上就自己總結出來了等差數列的求和公式，就是那個1 2 3 4 5 …… 100等于多少的問題，雖然說晚了一年，不過高斯已經命中注定當數學家了。

19歲上，高斯就證明了尺規作圖可以做出正十七邊形，這可是當年歐幾裡得和牛頓都沒有解決的問題，對于高斯來說這隻是一個課後作業，他隻用了一個晚上就解決了。

覺得很神奇了吧，還不夠呀。

看看作為天文學家的高斯吧

意大利神父皮亞齊觀察到了一顆特殊的星星，既不是恒星也不是衛星，這是人類發現的太陽系的第一顆小行星，不過他僅僅是發現，并沒有計算出軌道，高斯隻用了一個小時就計算出來了小行星的軌道，因為他用了他18歲上發現的最小二分法。

再來看看物理學家高斯。

我們都知道麥克斯韋方程被譽為最美的方程，僅用四個方程就描述了電磁世界，其中第一個方程就是高斯發現的高斯定律，可是作為數學家的高斯為什麼自己沒有推導出電磁方程呢？這是由于他的好友是韋伯，韋伯一直堅持以太說，而麥克斯韋亦師亦友的是法拉第，就是法拉第創造性地提出了場的概念，要是高斯接觸到了法拉第的場的話，說不定某個下午就推導出來了麥克斯韋方程了，也不用麥克斯韋十年苦讀了，當然那也就不叫麥克斯韋方程了，應該叫高斯方程。

數學對于别人來說可能是殚精竭慮夜不能寐，對于高斯來說，可能就是夏日午後的一時靈感爆發，這就跟賈島寫詩是“兩句三年得，一吟雙淚流”而詩仙卻是“鬥酒詩百篇”一樣，人和人的差别就是這麼大。

這麼牛的高斯，他有沒有感到第五公設有問題呢？當然感受到了，他早在十五歲上就感到了，不過他并沒有公布，為什麼不公布呢？因為他隻想做一個快樂的小王子。

想一想王和王子的區别吧，看看朱元璋，雖然說也是皇帝，可起得比雞早睡得比狗晚幹的比驢多，以緻于發出了“百僚未起朕先起，百僚已睡朕未睡，不如江南富足翁，日高丈五猶披被”的慨歎。

看得出當王不容易了吧，這個例子不太恰當，還是看看科學上的王吧。

牛頓爵爺絕對是科學上的王，可這一輩子都沒有消停過，先是怼胡克，怼完胡克又來了萊布尼茨的挑戰，一輩子不是在撕逼就是在撕逼的路上，這一輩子忙的呀連個老婆都沒有混上。

王子就不同了，可以和王一樣縱享人間繁華，不一樣的是王子可以一直快快樂樂，沒事就四處遊玩，還能順便帶個公主回來。

要是數學王子呢，那就是一直出于人們的贊頌之中，而不必承擔各種各樣的争吵，高斯就選擇了這一條路，對于可以有争議的想法他從來不發表，這樣他就可以當一個快樂的小王子了。

高斯對于一些想法雖然不發表，不過也都偷偷摸摸地寫在筆記裡了，這造成了非常不好的影響，以至于後來的數學家們有了什麼新想法，都得先去翻一翻高斯的筆記本，别自己冥思苦想出來的東西早就被祖師爺解決了，這也太沒面子了。不過這是對後世的數學家來說，當時的數學家可不知道高斯的這個愛好。

高斯的大侄子波爾約就栽在了叔叔手裡。

波爾約的父親老波爾約是高斯最好的朋友，他也是第一個意識到高斯的偉大的人，當初高斯的母親就問過她，高斯到底怎麼樣？他告訴高斯的母親，高斯未來會是歐洲最偉大的科學家。

波爾約就對第五公設提出了疑義，看兒子這麼有出息，老波爾約當然高興，不過覺得兒子玩得有點大，他決定還是讓高斯把把關。

高斯看到大侄子的論文非常開心，他說論文很好，不過不能過多贊譽，因為這和他的想法不謀而合了，這當然是高斯的謙虛，也是對後輩的勉勵，可是波爾約卻誤會了，他以為這是叔叔高斯要搶他的發明權，這也難怪呀，數學史上也不是沒這時，為了微積分的發明權牛頓和萊布尼茨都吵翻天了，可是他倆吵是由于倆人水平旗鼓相當，想一想自己和高斯的差距，波爾約頓覺心情沮喪，從此偃旗息鼓，再也沒有涉足第五公設。

連自己的大侄子高斯都不站出來支持，更何況是素不相識的羅巴切夫斯基了，不過高斯還是力所能及地幫了羅巴切夫斯基。

高斯看到了羅巴切夫斯基用德文寫的非歐幾何著作，私下裡就稱他為“俄羅斯最卓越的數學家”，這對于高斯來說已經是非常高的評價了，并下決心開始學習俄語，打算開始閱讀羅巴切夫斯基其它的著作，為什麼他不要求羅巴切夫斯基用德文多寫幾部呢，莫非高斯也感到了掌握一門外語的重要性，當然不是。

因為高斯的所有評價都是私下的，要是他要求羅巴切夫斯基用德文多寫兩部，這就意味着他承認了羅巴切夫斯基的研究，這是高斯不想做的，不但這樣，他還不準朋友向外界洩露他對非歐幾何的看法。

單單這樣的支持是沒有用的，高斯又積極推選羅巴切夫斯基擔任哥廷根皇家科學院的通訊院士，可是在他的親筆推薦書中他隻字未提羅巴切夫斯基在非歐幾何上的貢獻，因為這樣又會暴露他對非歐幾何的支持。

由于高斯所有的支持都沒有公開過，他所有的支持的作用也近乎為零。

高斯不對非歐幾何發表看法僅僅是由于他不想争吵嗎？有沒有一種可能是高斯其實對非歐幾何也不太了解？

當然不可能。

17歲時高斯就說過“曲面三角形的外角和不等于360°”，我們知道三角形的外角等于不相鄰的兩個内角的和，這就是說三角形的内角和不等于180°，這就是羅巴切夫斯基所說的非歐幾何的内容。

可是高斯說的是曲面三角形呀，歐幾裡得人家說的是平面呀。

盲生，你發現華點了！

歐幾裡得最大的錯誤就是書名起錯了，書名叫做《原理》好像是全宇宙真理一樣，就算後來利瑪窦和徐光啟改成了《幾何原理》也沒有改對，應該叫《平面幾何原理》才對，在歐幾裡得看來，世界就是一個大平面，而實際上這個平面是不存在的。

平面的觀點是古希臘哲學中根深蒂固的一貫觀點，後來都影響到了牛頓，牛頓力學的基本假設就是存在一個靜止的時空，這個靜止的時空就可以理解為這個大平面。

其實歐幾裡得也已經感覺到了這個平面有些問題，他在第五公設中使用了無限這個詞，問題就是隻有曲面沒有平面，即便是看起來像是平面的形狀也是曲面在小尺度下的近似。

還是先來看看高斯的觀點吧。

1827年，高斯在論文《關于曲面的一般研究》的基礎上，發展了内蘊幾何。

先說一下什麼是内蘊幾何。

内蘊幾何是相對于外嵌幾何來說的，外嵌幾何就是以上帝的角度來看待幾何，在上帝看來地球就是一個球體，内蘊幾何就是從人的角度來看幾何，在上帝看來地球就是一個球體，在人看來地球就是一個平面，注意是看，不是知道，那時候人們确實知道地球是一個球體，但不是看到的，是想到的。内蘊幾何就是人借用上帝大地眼睛去看世界。

換個說法吧，我們看一個籃球就是曲面球體，而籃球上的一隻螞蟻看來籃球就是一個平面，同理，螞蟻看到的一段直線在我們看來就是一段弧線。

其實歐幾裡得說的直線應該叫做測地線，幾何學的含義就是測量大地的學問，這就是說幾何學的基礎就在測量大地上，測地線就是在地面上一點到另一點的距離，我們知道我們居住的大地是球形的，這樣看來的話，歐幾裡得所謂的直線也是曲線。

依照高斯的觀點，羅巴切夫斯基的非歐幾何就是在曲面上的幾何學，我們還是來看一張圖吧。

這就是羅巴切夫斯基的非歐幾何，這可以看出來，曲面上三角形的内角和小于180°，通過直線外一點的平行線也不止一條，因為這是一個雙曲曲面上，因此羅巴切夫斯基的非歐幾何也叫做雙曲幾何。

高斯不但在理論上闡述了這個問題，他還做了實驗。

在1818年到1826年期間，高斯主導了漢諾威公國的大地測量工作，他曾經測量三個山峰組成的三角形的内角和，在高斯看來，隻要三角形足夠大，那麼就接近曲面，隻要就可以找到三角形内角和不等于180°的證據，可由于當時測量工具的精度不夠，他并沒有得到這個結論，這也使得他更不能輕易發表證據的看法了。

不管怎麼說，羅巴切夫斯基已經拿到了非歐幾何的首創權，畢竟他遇到的是高斯而不是牛頓，在幾何上，要說歐幾裡得就好像托勒密一樣，那麼羅巴切夫斯基就是當之無愧的哥白尼，不過也僅僅是哥白尼。

羅巴切夫斯基推翻了歐幾裡得，就像哥白尼用日心說推翻了托勒密的地心說一樣，可是日心說并不是最終的真理，之後還有伽利略和牛頓，羅巴切夫斯基也并不是終點。

那麼由誰來開啟新的征程呢？

4.黎曼出世

1826年，高斯還在漢諾威公國的大地上忙碌的時候，一個嬰兒降生在這片土地上，他就是命中注定要接過高斯旗幟的黎曼。

在跨入大學前，黎曼并沒有感受到命運的感召，他以一個神學系學生的身份走進了哥廷根大學，但命運的力量是不可抗拒的，黎曼偶爾聽了一場年近古稀的高斯的數學講座，就是這場講座，讓黎曼闖進了數學王國。

獲得博士學位後，黎曼需要做一個演講來獲得教職，他準備了三個題目，可到底講哪個有點難以取舍，他去向高斯請教，高斯一眼就相中了幾何基礎。

對于這個題目，黎曼僅僅準備了兩個月，他自己也并沒有多少把握，可是既然都相中了，那麼就一定有他的道理。

黎曼的演講就是《論作為幾何基礎的假設》，他的演講并沒有語驚四座，據說隻有高斯才聽懂了他在說什麼，不過已經足以讓所有人大吃一驚，黎曼說根本就沒有平行線。

還是用球來打個比方吧。這次用地球。

在地球上我們看來經線都是平行的，可經線最終都要交彙于南北極，這哪裡還有什麼平行線呢？可是經線不是直線呀，誰說經線不是直線呀，歐幾裡得的直線就是測地線，經線本來就是測地線呀，要是我們穿過地球做一條直線呢，那你怎麼知道宇宙空間是什麼樣的呀，沒準也是個球呢。

在說黎曼的理論之前，還是先來看一下高斯的想法，畢竟隻有他聽得懂嘛，我們要想聽懂，也得先複習一下高斯的想法。

在平面上，我們知道如何測量一段直線的距離，用公式表示就是：

ds2 = dx2 dy2

其實就是歐幾裡得幾何中的勾股定理。

那麼在曲面上的弧長公式呢，高斯給出了公式：

ds2 = E du2 2F dudv G dv2

E、F、G都是系數，和曲面上點的性質有關，u就是橫坐标，v就是縱坐标。

要是在平面上，這個公式就可以又變回了勾股定理，還是ds2 = dx2 dy2

高斯所說的這一切都還在二維平面中，黎曼把高斯的二維平面擴展到了n維平面，黎曼稱之為黎曼流形，還用黎曼度規表達出來了高斯弧長公式中的E、F、G

不難看出這就是高斯弧長公式在n維流形中的表達式，其中gij（p）就是p點的黎曼度規，黎曼度規随p的變化而變化，這種随空間的點變化的物理量是什麼呀？當然就是場。在法拉第1837年提出電場磁場的概念17年後，黎曼給出了場的數學描述。

用黎曼度規表示後，弧長公式就變成了這樣。

式中的α就是是二維曲面的高斯曲率。

當α=-1，三角形的内角和小于180o，這就是羅巴切夫斯基的雙曲幾何。

當α=0，三角形的内角和等于180°，這就是通常的歐幾裡得平面幾何。

當α=1，三角形内角和大于180°，這就是球面幾何。

如果說羅巴切夫斯基的非歐幾何撕開了歐幾裡得幾何的一個角的話，黎曼幾何就完全颠覆了歐幾裡得。

現在可以看出來吧，歐幾裡得幾何就是黎曼幾何的一種特殊形式，隻是在二維的小空間内适用，這句話是不是聽起來有點熟悉呀？好像物理上也有這句話，物理上是這麼說的，牛頓力學隻是相對論力學在低速宏觀情況下的近似，這麼看來，黎曼幾何是不是和相對論有關系呢？當然有關系，要是沒有黎曼幾何的話，也就沒有相對論了。

1. “懶家夥”愛因斯坦

1905年，愛因斯坦寫了五篇論文，四篇可以獲得諾貝爾獎，其中的光電效應那一篇論文還真獲得了諾貝爾獎，就是生産隊的驢也不能這麼使喚呀，都這樣幹活了，怎麼他還是“懶家夥”呢？

說這句話的人是愛因斯坦的老師闵可夫斯基。這個名字聽起來好像是羅巴切夫斯基的老鄉，其實他是正宗的德國人，和俄國也算有點關系，他出生在俄羅斯，他是希爾伯特的好友，希爾伯特在1900年的那場著名的關于數學的演講就是出于他的建議，他還有一個身份就是愛因斯坦的大學老師。

現在人們都知道了愛因斯坦小時候做小椅子的傳說是假的了，而且愛因斯坦從小到大都是老師們青睐的好學生，可闵可夫斯基怎麼就看他不順眼呢。

這是由于愛因斯坦經常逃他的數學課，愛因斯坦逃課當然不是因為老師講的不好，這一方面是愛神覺得物理用不了那麼多數學，淺嘗即止就可以了，另一方面是愛神有一個好老婆和一根好基友，好老婆是米列娃，好基友是格林斯曼，這倆都是學霸，平時愛神看看老婆和基友的筆記也就能混個及格了，至于上不上課倒是沒多大必要。

可是愛因斯坦真的錯了。

狹義相對論的時候，還用不着太高深的數學知識，就算用得着也無所謂，不是有老婆嘛，一些繁瑣的計算确實是米列娃完成的。

可到了廣義相對論，愛神就傻眼了，他發現他的數學知識不夠用，要想繼續發展下去，隻能二次學藝，可這時候他的老師闵可夫斯基已經去世了。

老師是永遠不會記恨學生的。看到愛因斯坦的論文後，闵可夫斯基也沒有想到這個“懶家夥”會有這麼大成就，震驚之餘，還是打算幫一下這個“懶家夥”，畢竟是親學生嘛，闵可夫斯基去世之前，就給狹義相對論打下了堅實的數學基礎，這就是闵可夫斯基空間。

闵可夫斯基空間說的就是四維時空。

我們生活的空間有長寬高三個維度，再加上時間就是四維時空。

在二維空間中，我們确定一個點的位置，使用的是勾股定理，用公式表示就是：ds2 = dx2 dy2 ，在三維空間中，公式就變成了ds2 = dx2 dy2 dz2。

到了四維空間，要想确定一個點的位置，就需要考慮時間了，闵可夫斯基就把公式變成了這樣：dt2 =dt2 - dx2 - dy2 - dz2，。

注意到公式中的負号了嗎？就是這個負号産生了雙生子佯謬祖父悖論一系列匪夷所思的相對論現象。

沒有了老師的教導，愛因斯坦并沒有停下前進的腳步，在老師指引的方向上，他開始和好基友格林斯曼死磕黎曼幾何，終于在1915年險勝希爾伯特，取得了廣義相對論的首創權。

在廣義相對論的框架下，我們終于看到了宇宙的真相。

宇宙并不是平坦的歐幾裡得空間，而是扭曲的黎曼幾何，在這種宇宙觀下，确實是沒有直線的。

光為什麼在會在大質量的星體附近拐彎，并不是星球的吸引，而是大質量的星體扭曲了周圍的時空，光隻能沿着時空的短程線（也就是歐幾裡得所說的測地線）運動，看起來就像是拐彎了，這就是約翰.惠勒所說的“物體告訴時空如何彎曲，時空告訴物體如何運動”。宇宙從物理的變成了幾何的。

闵可夫斯基認為：數學的研究将引導物理，而理論物理則可看做是數學物理的分支。聽起來這話有些偏頗，卻也不無道理。

1826年，羅巴切夫斯基這位“幾何學的哥白尼”吹響了非歐幾何的号角， 1915愛因斯坦創立了廣義相對論，數學比物理學要提前了89年，這個時候，羅巴切夫斯基已經去世59年，要是有另一個時空的後，一生挫折的他一定會發出爽朗的笑聲。

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