Andre Lamothe說：“向量幾何是遊戲程序員最好的朋友”。一點不假，向量幾何在遊戲編程中的地位不容忽視，因為在遊戲程序員的眼中，顯示屏幕就是一個坐标系，運動物體的軌迹就是物體在這個坐标系曲線運動結果，而描述這些曲線運動的，就是向量。使用向量可以很好的模拟物理現象以及基本的AI。

首先我們先需要複習一下中學的向量知識

向量v 也叫矢量，是一個有大小有方向的量。

長度為1的向量稱為單位向量,也叫幺矢，這裡即為E。

長度為0的向量叫做零向量，記為0，零向量沒有确定方向，換句話說，它的方向是任意的。

1、向量加法：a b等于使b的始點與a的終點重合時，以a的始點為始點，以b的終點為終點的向量。2、向量減法:a-b等于使b的始點與a的始點重合時，以b的終點為始點，以a的終點為終點的向量。3、 數量乘向量:k*a，k>0時，等于a的長度擴大k倍；k=0時，等于0向量；k<0時，等于a的長度擴大|k|倍然後反向。4、向量的内積（數量積、點積）: a.b=|a|*|b|*cosA 等于向量a的長度乘上b的長度再乘上a與b之間夾角的餘弦。 它的幾何意義就是a的長度與b在a上的投影長度的乘積，或者是b的長度與a在b上投影長的乘積，它是一個标量，而且可正可負。因此互相垂直的向量的内積為0。

5、向量的矢積（叉積）: a x b = |a|*|b|*sinA*v = c, |a|是a的長度，|b|是b的長度，A是a和b之間的不大于180的夾角,v是與a,b所決定的平面垂直的幺矢，即axb與a、b都垂直。在右手坐标系下，a,b,c構成右手系,即右手拇指伸直，其餘四指按由a到b的不大于180度的角卷曲，此時拇指所指方向就是c的方向。因此axb!=bxa。如果是左手系，那麼上圖中a x b = -c ，即a,b和-c構成左手系。a x b的行列式計算公式如上圖右邊所示。兩個向量的矢積是一個向量。6、正交向量的内積：互相垂直的兩個向量是正交的，正交向量的内積為零。a.b = |a|.|b|*cos(PI/2) = |a|.|b|*0 = 0。

二、向量的性質

沒有下面的這些性質做基礎，我們後面向量技巧的推導将無法進行。

1) a b = b a2) (a b) c = a (b c)3) a 0 = 0 a = a4) a (-a) = 05) k*(l*a) = (k*l)*a = a*(k*l)6) k*(a b) = k*a k*b7) (k l)*a = k*a l*a8) 1*a = a

9) a.b = b.a10)a.(b c) = a.b a.c11)k*(a.b) = (k*a).b = a.(k*b)12)0.a = 013)a.a = |a|^2

三、自由向量的代數（分量）表示

1、向量在直角坐标中的代數表示方法：a=(x,y)

其中x,y分别是向量在x軸和y軸上的分量。任何一個在直角坐标軸上的分量為(x,y)的向量都相等。比如上圖中的每個向量都表示為(-2，1)。或者寫成a=x*i y*j，即i和j的線性組合，這裡i是x軸方向的單位向量(1,0)，j是y軸方向的單位向量(0,1)，因此i正交于j。任意一個2-D向量都可以變成i與j的線性組合。|i| = |j| = 1

2、向量的代數（分量）表示的運算：向量加法分量表示：a b=(xa,ya) (xb,yb)=(xa xb,ya yb)向量減法分量表示：a-b=(xa,ya)-(xb,yb)=(xa-xb,ya-yb)向量的内積（數量積、點積）分量表示:a.b=(xa * i ya * j).(xb * i yb * j)= xa * i * xb * i xa * i * yb * j ya * j * xb * i ya * j * yb * j=(xa * xb) * (i * i) (xa * yb) * (i * j) (xb * ya) * (i * j) (ya * yb) * (j * j)= xa * xb ya * yb

3、向量長度（模）的計算以及單位化（歸一化）：設a=(x,y),則|a| = |(x,y)| = |x*i y*j| = sqrt(x^2*i^2 y^2*j^2) = sqrt(x^2 y^2），這裡sqrt是開平方符号。a的單位向量為a/|a|，即(x,y)/sqrt(x^2 y^2)。

現在假設你正在編寫一個飛行射擊遊戲，你的敵人需要一種很厲害的武器-跟蹤導彈，這種武器在行進的同時不斷的修正自己與目标之間的位置關系，使得指向的方向總是玩家，而不論玩家的位置在哪裡，這對一個水平不高的玩家（我？）來說可能将是滅頂之災，玩家可能很詫異敵人會擁有這麼先進的秘密武器，但對于你來說隻需要在程序循環中加入幾行代碼,它們的原理是向量的單位化和基本向量運算。

首先我們要知道玩家的位置(x_player, y_player)，然後，我們的導彈就可以通過計算得到一個有初始方向的速度，速度的方向根據玩家的位置不斷修正，它的實質是一個向量減法的計算過程。速度的大小我們自己來設置，它可快可慢，視遊戲難易度而定，它的實質就是向量單位化和數乘向量的過程。具體算法是：導彈的更新速度(vx_missile, vy_missile) = 玩家的位置(x_player, y_player) - 導彈的位置(x_missile, y_missile)，然後再對(vx_missile, vy_missile)做縮小處理，導彈移動，判斷是否追到玩家，重新更新速度，縮小...

看一下這個簡單算法的代碼：

// 假設x_player,y_player是玩家位置分量// x_missile,y_missile是導彈位置分量// xv_missile,yv_missile是導彈的速度分量// 讓我們開始吧！float n_missile ; // 這是玩家位置與導彈位置之間向量的長度float v_rate ; // 這是導彈的速率縮放比率// 計算一下玩家與導彈之間的位置向量xv_missile = x_player-x_missile ; // 向量減法，方向由導彈指向玩家，x分量yv_missile = y_player-y_missile ; // y分量// 計算一下它的長度n_missile = sqrt( xv_missile*xv_missile yv_missile*yv_missile ) ;// 歸一化導彈的速度向量：xv_missile /= n_missile ;yv_missile /= n_missile ;// 此時導彈的速率為1，注意這裡用速率。// 導彈的速度分量滿足xv_missile^2 yv_missile^2=1// 好！現在導彈的速度方向已經被修正，它指向玩家。// 由于現在的導彈速度太快，為了緩解一下緊張的氣氛，我要給導彈減速v_rate = 0.2f ; // 減速比率xv_missile *= v_rate ; // 這裡的速率縮放比率，你可以任意調整大小yv_missile *= v_rate ; // 可以加速：v_rate大于1；減速v_rate大于0小于1，這裡就這麼做！// 導彈行進！導彈勇敢的沖向玩家！x_missile = xv_missile ;y_missile = yv_missile ;// 然後判斷是否攻擊成功現在，你編寫的敵人可以用跟蹤導彈攻擊玩家了。你也可以稍加修改，變為直線攻擊武器。這樣比較普遍。基本的跟蹤效果用向量可以很好的模拟。此時，我們隻用到了所述向量知識的很少的一部分。其他的知識會慢慢用到遊戲中。這次先介紹到這裡。

在遊戲的運動中我們常用的方法就是向量的加減，這個可以大大簡化我們的程序。對于向量你還有什麼需要了解的嗎？歡迎 關注，私信.

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