給出兩個向量（3，-1）、（-1，3），如下圖：
現在，我們玩個小遊戲，按住向量（3，-1）的Y軸坐标不動，随意改變它的X軸坐标，相當于下圖中的箭頭在直線Y=-1上滑動；按住向量（-1，3）的X軸坐标不動，随意改變它的Y軸坐标，相當于下圖中的箭頭在直線X=-1上滑動。問，如果兩個箭頭滑動的正負方向和數量是相同的，有沒有可能兩條向量線段變為共線？
如上圖，滑動後的向量線段為（3-t，-1）、（-1，3-t）。要判斷兩者能不能共線，隻要使兩者的斜率相等，即（3-t）/-1=-1/（3-t），再看看t有沒有解就可以了。解得。
寫到這裡，我們可以引入特征值和特征向量的定義了。
設是階方陣，如果數和n維非零向量x使關系式成立，那麼，這樣的數稱為方陣的特征值，非零向量稱為對應于特征值的特征向量 。
式，也可以寫作。
可以看得出來，特征值就是上面提到的未知數。
同時，是包含兩種未知量（特征值和特征向量）的齊次線性方程組，但是，因為中非零向量，則有行列式。
這是一件很有趣的事情，齊次線性方程組中另外包含着一個一元多次方程，這就使得整體求解的過程變得簡單了。
例： 求矩陣
的特征值和特征向量。
解：A的特征多項式為
解得A的特征值為，。
對應地，求得基礎解系：
所以是對應于的全部特征向量；是對應于的全部特征向量。
結構抗震計算是特征值與特征向量的應用場景之一。
已知無阻尼多自由度振動方程：
設的解為，那麼
兩式代入振動方程，化簡得：
這樣，求解振動方程就轉化為求特征值與特征向量了。
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