有關整除問題的解題技巧，學校的課堂上一般不會講這麼詳細。大家好我是小梁老師，這節課的内容量很大，而且非常有用，需要記憶需要認真讀題思考。學完本課用時會比較多。

＜整除＞

整數a除以整數b(b≠0)，除得的商正好是整數而沒有餘數，我們就說a能被b整除(也可以說b能整除a)。

如果整數a能被整數b(b≠0)整除，a就叫作b的倍數，b就叫作a的因數。倍數和因數是一對相互依存的概念。

根據整除的含義，我們可以歸納一些數的整除特征：

(1)看末一位或末幾位數。

①能被2，5整除的數的特征：

這個數的末一位數能分别被2，5整除。

②能被4，25整除的數的特征：

這個數的末兩位數能分别被4，25整除。

③能被8，125整除的數的特征：

這個數的末三位數能分别被8，125整除

④能被16，625整除的數的特征：

這個數的末四位數能分别被16，625整除。

(2)看各位上的數字的和。

①能被3，9整除的數的特征：

這個數的各位上的數字的和能分别被3，9整除。

②能被11整除的數的特征：

這個數的奇數位上的數字的和與偶數位上的數字的和的差能被11整除。

(3)看兩部分數字組成的數的差。

能被7，11，13整除的數的特征:

這個數的末三位數與末三位數前面的數字組成的數的差能分别被7，11，13整除。

2、整除還具有這樣一些性質：

(1)如果兩個數都能被同一個數整除，那麼這兩個數的和或差也能被這個數整除。

(2)如果一個數能被另一個數整除，那麼這個數的整數倍也能被另一個數整除。

(3)如果第一個數能被第二個數整除，第二個數又能被第三個數整除，那麼第一個數也能被第三個數整除。

(4)如果一個數能同時被另外兩個數整除，而且這兩個數互質，那麼這個數也能被另外兩個數的積整除。

以上說到的解題技巧可以用在所有整除的題目中，有必要記下來背下來。下面我們通過幾個例題把整除的内容具體學習一下。

☞例題①

在□中填入合适的數字，使所組成的數能被4整除。

(1)65□4

(2)1235口

解題分析：在(1)中，要使所組成的數能被4整除，根據能被4整除的數的特征，這個數的末兩位□4就應該能被4整除，因此口中可以填0，2，4，6或8。所組成的數應該是6504，6524，6544，6564、6584。

在(2)中，要使所組成的數能被4整除，根據能被4整除的數的特征，這個數的末兩位5□就應該能被4整除，因此□中可以填2或6。所組成的數應該是12352，12356。

再看個比較類似的題目：

拓展題型：在□中填入合适的數字，使所組成的數能被25整除。

(1)2785□

(2)96□5

解題分析：在(1)中，要使所組成的數能被25整除，根據能被25整除的數的特征，這個數的末兩位5□就應該能被25整除，因此□中隻能填0。所組成的數應該是27850。

在(2)中，要使所組成的數能被25整除，根據能被25整除的數的特征，這個數的末兩位□5就應該能被25整除，因此□中可以填2或7。

所組成的數應該是9625，9675。

想一想做一做以下對應題目：

1.下列哪些數能被4整除?哪些數能被25整除？

12456

2350

37212

7800

5408

65325

2.在□中填入合适的數字，使所組成的數能被4整除。

78□4

7653□

863□□

3.在□中填入合适的數字，使所組成的數能被25整除。

98□5

765□

667□

874□0

☞例題②

一個五位數能被72整除，這個五位數的千位、百位、十位上依次是6，7，9，萬位和個位上的數字不知道是幾，你知道嗎?

解題分析：一個五位數能被72整除，那麼這個五位數應該能同時被8和9整除。我們可以應用能被8和9整除的數的特征解決這個問題。

五位數□679□能被8整除，那麼它的末三位一定能被8整除，即79□是8倍數，容易算出□内隻能是2。

五位數□6792能被9整除，所以它各位上數字之和能被9整除，即□ 6 7 9 2＝□ 24，顯然□中隻能填3。

答：這個五位數是36792。

想一想做一做以下對應題目：

1.在□中填上合适的數字，使所組成的數有因數125。

662□0

887□0

4525□□

6673□□

2.在□内填上合适的數字，使2□10□能同時被8和9整除。

3.六位數A427B6能被72整除，則A和B各表示多少?這個整數是多少?

☞例題③

在□内填上合适的數字，使五位數7□36□能被5整除，也能被9整除。

解題分析：要使這個五位數能被5整除，個位上隻能是0或5；要使它能被9整除，各位數字之和就要能被9整除。

當個位上是0時，7 □ 3 6 0的和能被9整除，□隻能填2。

當個位上是5時，7 □ 3 6 5的和能被9整除，□隻能填6。

所以這個五位數是：72360或76365。

想一想做一做以下對應題目：

1.在□内填上合适的數字，使五位數29□7□能被4整除，也能被3整除。

2.已知六位數A2003B能被5整除，也能被9整除，求滿足條件的六位數。

3.七位數22A333A能被4整除，且兩位數3A能被6整除，那麼A是多少？

本節課所有練習題答案如下：

例題1想一想做一做

1.能被4整除的數:12456，37212，7800，5408

能被25整除的數:2350，7800，65325

2.(每題答案均不唯一，給出一個僅供參考)

7904，76532，86300

3.(前、後兩個答案不唯一，給出一個僅供參考)

9825，7650，6675，87400

例題2想一想做一做

1.66250，88750，452500，667375，

2.22104

3.當B＝3時，A為5;當B＝7時，A為1。整數是542736和142776

例題3想一想做一做

1.要使這個數能被4整除，末兩位7□必須能被4整除，有72，76兩種填法。要使這個數能被3整除，各位上數字的和就要能被3整除，若個位上填2，百位上可填1，4，7;若個位上填6，百位上可填0，3，6，9。所以符合條件的五位數有:29172，29472，29772，29076，29376，29676，29976。

2.由于六位數能被5和9整除，由六位數A2003B能被5整除可知B＝0或5，當B＝0時，A＝4。當B＝5時，A＝8。所以這樣的六位數有420030，820035。

3.因為兩位數3A能被6整除，所以A＝0或6經檢驗:2203330不能被4整除，2263336能被4整除，所以A是6。

這節課内容比較多，能夠看完并且掌握的同學恭喜你，今後這類問題都會迎刃而解，下節課繼續複習整除。我是小梁老師，下節課見！

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