下面，我們讨論如何通過加法運算推演出其他的運算。
一．乘法
乘法的本質上是一類特殊的加法，乘法是數自相加的縮寫，2*3表示兩個3相加。一般地，對a,b∈N，規定乘法運算a*b表示a個b相加，因此乘法具有與加法類似地算律，滿足：
1. 封閉性：如果a,b∈N，則a*b∈N
2. 交換律：a*b=b*a
3. 結合律：(a*b)*c=a*(b*c)
4. 分配律：(a b)*c=(a*c) (b*c)
二．減法
減法是加法的逆運算。因為可能出現負整數，需要把運算的集合擴大，從自然數集合N擴張到整數集合Z。整數集合包含正整數（自然數），0和負整數。據記載，負整數也是印度人首先引入的，是為了表示負債。大約在公元628年左右，印度數學家婆羅摩笈多最早給出了負數的四則運算。
減法是通過加法來定義的。對于a,x,b∈Z，如果a x=b,則稱x為b減a的差，求差的運算叫做減法，記為x=b-a。可以驗證這個規定蘊涵着a 0=a,(-a) a=0。整數Z對于減法運算封閉，即a, b∈Z,則a-b∈Z。
三．除法
除法是乘法的逆運算。與減法一樣，我們需要進一步擴大運算的集合，從整數集合Z擴張到有理數集合Q，有理數集合包括：整數和分數。這樣，有理數系包括了一切形如m/n的數，其中m,n∈Z,n≠0。與負數不同，幾乎所有的文明從一開始就能夠接受基于自然數的分數，即形如m/n的數，其中m,n∈N。這是與人們的經驗有關的，因為在生活中需要處理部分與整體的關系，線段長度的比例關系，數量分配的比例關系。需要注意的是，人們最初使用的分數都是真分數，是對于比例的刻畫，而不是近代意義上擴張了的有理數。
除法是通過乘法來定義的。對于a,x,b∈Q，如果a*x=b，則稱x為a與b的商，求商的運算叫做除法，記為x=b/a。這個規定蘊涵着下面的關系成立：a*1=a，a/a=1，b/a=d/c等價于a*d=b*c。有理數集合Q對于除法運算封閉，即a,b∈Q,a≠0，則b/a∈Q。
可以看到，減法，乘法和除法都是基于加法的，稱這四種最基本的運算為四則運算，有理數集合Q對于四則運算是封閉的。
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