由于人力、物力、财力等主客觀因素的限制，在高中知識範圍内，現實生活往往采用簡單/分層随機抽樣的方式，從擁有大量甚至無限個個體數量的總體中抽取最具代表性的樣本，通過樣本來估計總體，所以研究有限容量的樣本尤為重要，對于樣本數據的集中趨勢有三個常見、常用的數字特征：平均數(均值)、中位數(中值)和衆數。

對于這三個數字特征的聯系與區别，新教材已有說明，不過沒有進行詳細的歸納，在此進行簡單的總結，水平有限，不正确的地方還請批評指正。

一、數據排列位置影響：

學生們都知道，對數據進行統計第一步要排序，一般按升序排列，拍完序發現中位數和平均數、衆數都不受排列順序的影響。假定不排序，不影響平均數的計算，會影響衆數的确定，最受影響的就是中位數：因為排列位置的差異導緻中位數馬上會改變這是中位數的缺點，而平均數、衆數并不受此影響，因此位置特征是中位數的主要特點，它又叫第50百分位數。

二、數字特征值個數：

平均數隻有一個，中位數也隻有一個，而衆數可以有多個或沒有，這是衆數的缺點！日常生活中諸如“最佳”、“最受歡迎”、“最滿意”等，都與衆數有關系，它反映了一種最普遍的傾向。

例1數據：

1 1 1 2 2 3 3 3

這一組數據有8個數字，其中平均數為2，中位數是(2 2)/2=2，衆數是1和3，因為1和3出現的頻次并列最多，都是3次。

例2數據：

1 2 3 4 5 6 7 8

這8個數據沒有重複的，每個數據出現的次數都隻有1次，那就不存在衆數，俗話說“沒有突出的那個數字”，“都是将軍拔不出矮子”。

三、數據代表的可靠性和穩定性：

平均數比中位數、衆數相比最具代表性。

從平均數的計算公式來看，它與樣本中每一個數據都有關系,從而反映出來的信息最為充分。平均數既可以描述一組數據本身的整體平均情況,也可以用來作為不同組數據比較的一個标準。因此,它在生活中應用最廣泛,比如我們經常所說的平均成績、平均身高、平均體重等等。

不同的一組數據中，三個數值可以相等，也可以不相等。由于各個統計量有各自的特征，所以需要我們根據實際問題來選擇合适的統計量。

四、數據極端值的影響：

如果數據中存在極端的偏大數和偏小數，馬上就會影響到平均數的水平，這也是平均數的缺點。而中位數和衆數這兩個統計量的特點都是能夠避免極端數據，但缺點是沒有完全利用數據所反映出來的信息。

舉個例子，如果一組數據中個别數據有很大的變化,且某個數據出現的次數較多,此時用衆數表示這組數據的集中趨勢比較合适。

五、數據分布形态：

下圖不言自明，頻數較多、頻率較高極端值會導緻均值左偏和右偏，數據分布圖形因此呈現出三種不一樣的圖象。

隻有在數據分布偏态（不對稱）的情況下，才會出現均值、中位數和衆數的區别。如果是正态的話，用哪個統計量都行。另外，如果偏态的情況特别嚴重的話，可以用中位數。

其實，我們處理的數據，大部分是對稱的數據，數據符合或者近似符合正态分布。此時均值（平均數）、中位數和衆數的誤差隻要在可以接受範圍之内即可。

六、數據作用與地位：

從高一和高二所學知識點和所考題型來看，平均數or平均值(均值)顯然比衆數、中位數的出現頻率要高得多，為什麼呢？因為在數學上,平均數是使誤差平方和達到最小的統計量,也就是說利用平均數代表數據,可以使二次損失最小。【這個在下次有關方差的教學文章中給與簡單的解釋，專業的解答還需要向大學教授請教，我實在不會哈】

七、适合的求和法數據類型：

衆數隻是頻數，求法是計數，适合屬性或分類變量；值得注意的是：當一組數據的那個衆數出現的次數不具明顯優勢時，用它來反映一組數據的典型水平是不大可靠的。

中位數和平均數(均值)的單位和原始數據是一緻的，中位數求法是排序，平均數求法需要計算，比較适合數值變量。以平均數為例，如果權數fi都一樣，直接求和再除以樣本容量即可；如果權數或權重不一樣，則使用加權平均公式來計算。

大緻翻了一下大學用的書，裡面知識豐富遠超過高中教材，正所謂“學然後知不足”，感興趣的朋友們可以再深入了解了解。

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