不知道大家聽沒聽過一首兒歌，叫做《蝸牛與黃鹂鳥》。你要知道蝸牛是“一步一步爬上去”的，無論我是以一年四季為單位還是以分秒為單位，它都是連續的向上爬的。為啥今天我要給大家提這麼一首歌呢？原因就在于我要利用這個給大家聊聊函數的連續性。你想，我在說蝸牛連續向上爬的時候，提到一句話，就是我無論怎麼放大研究它都是連續的。看圖：
無論我把時間怎麼拉長，蝸牛的路線都是連續的，（我畫成了指數函數是随手一畫的，無論什麼函數都是這樣）。
你應該理解吧，這個就是我剛剛說的那些的數學表達，對吧！先保證有定義，之後在保證x變化很小的時候，y的變化也不會大。再看第二個：
不小心筆誤了，應該為x→x0。
雖然是兩個定義，說的卻是一回事。都是在強調x與y在一段很小的區間裡變化都不會太大。第一個不用說了，第二個就是在f(x0)附近求極限看看它是怎麼變化的，結果這個函數就是無限的向f(x0)靠攏，Δx越小（x距離x0越近），那麼y也越接近f(x0)，當x=x0的時候，y=y0了。（你自己要畫個圖來琢磨，一味地看是不管用的）。
最後一個其實就是用ε-Ν語言把這些話重新說一遍：
話說到這，我們應該對函數連續的定義有一個準确的理解了。那你想想，函數的連續性與可導有沒有什麼聯系呢？
你想一下，連續隻是在提函數連續不斷，而導數呢？它說的是，我在這一點可以指引函數下一點怎麼走。所以說，函數不連續，求導就無從談起。那就是說可導的函數必定連續。
可是連續的函數不一定就可導哦！因為有的函數它在某點不可導（例如y=|x|），還有的函數它有切線但是斜率不存在（與x軸相垂直）。
今天就和大家說這麼多了，謝謝大家！
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