#頭條青雲“叫好又叫座”作品征集#

〈一〉。

金字塔有世界七大奇迹之一的美稱，我們在埃及和美洲等地方發現大部分都有金字塔建築的分布，我們在尼羅河流域而的下遊也發現了80座金字塔，其中胡夫金字塔是最高的金字塔。

我們也許會被金字塔的外形所吸引，它的形狀很像我們漢字的“金”字，會驚歎它的建築之美；我們也許對于金字塔是如何建造的會感到好奇，想要知道建造金字塔的秘密，會有很多的科學家去探尋它的建築之奇特；我們也許還會對金字塔的塔底，它的正方形的周長約等于圓的周長感到好奇，也就是說金字塔塔底的正方形周長除以2倍的高度會約等于π。

金字塔裡的更加有奇妙之處的東西，就是埃及金字塔裡留下的142857這一串數字的秘密，這究竟有何奧妙之處呢？

142857這一串神奇的數字也被稱為走馬燈數，這一串數字非常的奇妙，它可以幫我們證明一個星期有7天，因為它的自我累加一次，就會由它的6個數字依照順序輪值一次，等到了第7天，這一串數字就會消失不見了，取而代之的是由999999去替代142857，然後随着數字的逐漸加大，每超過一個星期的輪回，每個數字都需要分身一次，然而我們并不需要用到計算機，也可以輕松地知道繼續累加的答案，我們隻需要清楚地了解它的分身方法規律，給大家舉個科學的列子：

我們先來看一下這一串數字乘1到14的結果，分别是：

142857 X 1 = 142857；

142857 X 2 = 285714；

142857 X 3 = 428571；

142857 X 4 = 571428，

142857 X 5 = 714285；

142857 X 6 = 857142；

142857×7＝999999；

142857×8＝1142856；

142857×9＝1285713；

142857×10＝1428570

142857×11＝1571427

142857×12＝1714284；

142857×13＝1857141；

142857×14＝1999998。

由以上結論可以推斷出，從1至6的這種乘法的運算結果還是同樣的6個數字反複出現，隻是它們的位置順序發生了變化，而後乘以7的時候，就變成了由999999替代這一串數字，往後乘以8的時候，我們會發現多了一個1和6，缺少了7，也許我們會納悶這還有規律可循嗎？其實是有的，這裡面多出來的1和6，他們相加起來便是缺少的7了，由此推下去，乘以9的時候，多出來的1和3相加起來就是4了。

而且142857這一串數字也有這種奇妙之處，它分為兩部分相加時等于999，如142 857=999，它拆成三部分的時候等于99，如14 28 57=99，它們都與9相關，真是神奇呀，還有就是用142857乘以142857會等于20408122449，而把它分成兩部分相加又會變為原來的142857，如20408 122449=142857。

〈二〉。

一個很常見的問題：連續素數的間隔可以有多大？在我們回答這個問題之前，讓我們先來謹慎地明确間隔的定義（有兩個不同的常見定義）。對于每一個素數p，使g(p)等于p和大于p第一個素數之間的合數數量。因此，設第n個素數為p_{n} (p_{n}表示字母p的下标是n)，我們有：

p_{n 1} = p_{n} g(p_{n}) 1

即,g(p_{n})是p_{n}和p_{n 1}之間的間隔的大小。

由素數定理我們知道小于n的素數大約有n/ln(n)個，所以ln(n)是小于n的素數之間的平均間隔。然而，這些間隔會有怎樣的寬度範圍呢？下面我們将會讨論這個問題的幾個方面。

首先要注意的是孿生素數就是使得g(p) = 1的p, p 2，所以從孿生素數猜想我們就有這個猜想：有無窮多個p，使得g(p) = 1（或者等價于lim inf g(n) = 1）。

第二個需要注意的是g(p)可以任意大。不妨令n為大于1的任意整數，考慮下面這個連續的整數列：

n! 2, n! 3, n! 4, n! 5, ..., n! n

注意到2可以整除第一個數，3可以整除第二個數，以此類推，n可以整除第n-1個數，證明了這個數列的所有數都是合數。所以如果p是小于n! 2的最大素數，那我們就得到g(p) > n-1。顯然，應該還有産生相同間隔的更小的數。例如，素數42842283925351與它後一個素數之間有777個合數。——這是間隔為777的最小的素數，并且它遠小于778！ 2（一個有1914位數的數）。（也可以使用更小的數，不大于n的連續素數乘積：n#，而不是使用n!）.

最後一段，我們已經證明 lim sup g(n) = ∞，然而因為平均間隔是關于ln(n)，所以我們期望得更多。Westzynthius在1931年證明了：lim sup g(n)/ln(p_{n}) = ∞ 。

意味着對于每一個B>0，都有無窮多個素數p滿足g(p) > B log p。在我們講述更多之前，我們應該來看看數據上的證據

對每一個非負整數g，令p(g)是最小的由至少g個合數跟着的素數。這個告訴我們p(148) = p(149) = ... = p(153) = 4652353。

給定p，可能g(p)就會有一個上限。通過素數定理我們就能證明，對于任意實數e>0，存在某個整數n，使得總存在一個素數p滿足：m < p < (1 e)m(對任意m > n)

這證明了，對于所有的p > max( n,1 1/e )，有g(p) < ep。或者更簡潔地說，對于n > k，有g(p_{n}) < ep_{n}。)這裡有幾個關于e,k的具體數對：

對于n > 9, 有 g(p_{n}) < (1/5) p_{n} (Nagura 1952)

對于n >118, 有 g(p_{n}) < (1/13) p_{n} (Rohrbach & Weis 1964 )

對于n >2010760, 有 g(p_{n}) < (1/16597) p_{n} (Schoenfeld 1976 )

1937年，Ingham在Hoheisel的開創性工作的基礎上加工，從而證明了：p^(5/8 eps)的某個常數倍是g(p)的上界（對于任意eps > 0）。許多人已經對5/8進行改進，我所知道的最新的記錄是0.535，由R. Baker 和 G. Harman完成（但肯定的是，在現在這已經被改進了）。

再次，素數定理證明g(p)/ln p的均值是1，但我們怎麼認識g(p)/ln p這個數列呢？Ricci證明這個集合的極限點集具有正的勒貝格測度，但迄今為止被證明的極限點隻有無窮（上述提到的點）。

對于lim inf g(p)/ln(p)的各種上界已經被發現，包括0.248（當然，孿生素數猜想和素數K元組猜想都要求下限為0）。在一個相關的猜想，Cramer猜想：

lim sup g(p)/(ln p)² = 1

Granbille修改了Cramer猜想，揭示了它低估了間間隔的大小，Granbille猜測，對于任意一個小于歐拉常數的常數c：有無窮多個p，使得g(p) ≥ 2e^{-c}ln²p。這裡的常數c類似于Merten定理的常數M。

這個猜想可以被證明嗎？還不行，但是Cramer表示，如果黎曼猜想被證實了，那麼我們就可以得到一個比較弱的結果：

g(p)<k ln p sqrt(p)。

〈三〉。

時至今日，素數定理已被證明，小于N的素數個數的上限和下限都已經給出，但π(N)的确切值是多少，依然是一個懸而未決的問題，一批又一批的數學家們前赴後繼想登上最高峰，但都以失敗告終，但這并不妨礙後面還有一批又一批的攀登者。所以千年的質數公式的探索不會簡單，如果非常簡單，會引起所有數學家反思的。

已知素數的相關成果還是當今密碼學的基礎。先行互聯網的所有密碼都和素數的規律有關系。素數公式的發現，将使這些密碼變得毫無作用，可以預見不久的将來和密碼賬号有關的所有系統——比如銀行賬戶、郵箱賬号、遊戲賬号等——都将陷于極大的風險之中。

看一看下面一個有關素數在自然整數數軸上，1，2，3。。。。。。N。的一個排列現象，即：

2， 3， 4， 5， 6， 7。

8， 9， 10，1 1 12， 13 。

14 15，16，17，18， 19。

。。。。。。

就象這樣子一直寫下去，你就會發現這樣一個規律：所有素數都排列在6的倍數的兩邊。這樣就可以得出一個所謂求取素數的公式。即：6N士6。這個所謂的求取素數的公式，我曾在上世紀八九十年代的《我們愛科學》雜志上看到過。被稱為求取素數的公式。

由此素數6N士1公式，聯想到胡夫金字塔裡的神秘數字:142857。及其對于星期天的算法驚人的一緻性，而其中又與兩素數之間的間隔随着自然整數N的增大而增大。而其中的規律有很大的間連和相當的關系呢。

原創首發。

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