小學數學很難的求陰影面積的題-tft每日頭條

小學數學很難的求陰影面積的題

教育更新时间:2024-11-23 22:01:41

還是一道網上十分常見的求陰影面積題，這道題看着很簡單，但是實際上并沒有什麼簡單的算法（并不能用所謂的割補轉換等方法計算）。

小學數學很難的求陰影面積的題（一道看似簡單的小學陰影面積題的高級解法）1

問題描述：正方形邊長為a，四個以正方形頂點為圓心，以邊長長度為半徑的圓分别相交于EFMN，求陰影面積。

顯然陰影面積CDE等于ADF面積，DEF面積等于BMN面積。

把陰影CDE面積記為S1，DEF面積記為S2，MNEF面積記為S3。

由弧BMFD和弧BNED組成的圖形面積很容易求，

S3 2S2=πa^2/4-（a^2-πa^2/4）

=πa^2/2- a^2

=（π/2-1）a^2

接下來隻要求出S3即可。

小學數學很難的求陰影面積的題（一道看似簡單的小學陰影面積題的高級解法）2

S3=正方形EFMN面積四個扇形DMN面積-三角形DMN面積

三角形DEF看着像是等邊三角形（實際上就是）證明過程如下：

ΔDCM為等邊三角形，∠MDC=60°，∠ADM=30°

同理ΔADN為等邊三角形，∠ADN=60°

所以，∠ADM=∠MDN=∠NDC=30°

所以DN這條線上的任一點到M和C的距離就是相等的，即MN=NC，也就相當于EF=FD，而DF=DE，ΔDEF為等邊三角形。

小學數學很難的求陰影面積的題（一道看似簡單的小學陰影面積題的高級解法）3

MN=2asin15° （sin15°=（√6-√2）/4）

SΔDMN=DM×DN×sin30°/2=a^2/4

正方形MNEF面積=4a^2×（sin15°）^2

=（2-√3）a^2

扇形DMN面積=πa^2/12

圖形MNEF面積S3=（2-√3）a^2 4×（πa^2/12- a^2/4）

=（1-√3 π/3）a^2

圖形DEF面積記為S2={（π/2-1）a^2-（1-√3 π/3）a^2}/2

=(π/6 √3-2) a^2/2

陰影面積S1= {a^2-πa^2/4-(π/6 √3-2) a^2/2}/2

=（1-√3/4-π/6）a^2

作為一名經曆過高等數學洗禮的當代大學生，算到這裡不禁眉頭一皺，接下來就為大家介紹高等數學解法。

小學數學很難的求陰影面積的題（一道看似簡單的小學陰影面積題的高級解法）4

圓C1：（x-a）^2 (y-a)^2=a^2

圓C2：x^2 （y-a）^2=a^2

交點A（a/2，(2-√3)a/2）

面積即為曲線C2在（0，a/2）之間與x軸所圍面積的2倍，也就是積分的2倍。

曲線C2：y=a-√(a^2-x^2)

積分：

小學數學很難的求陰影面積的題（一道看似簡單的小學陰影面積題的高級解法）5

積分的2倍即為所求，（1-√3/4-π/6）a^2與上面計算結果一緻。

嗯。确實簡單不少……

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