z=f(xy,y)的二階偏導數其實有四個，它是建立在一階偏導數的基礎上的。一階偏導數有兩個，分别是關于x的偏導數和關于y的偏導數。而一階偏導數又都有關于x和關于y的偏導數，兩個一階偏導數就形成了z=f(xy,y)的四個二階偏導數。
因此，我們要先求z=f(xy,y)的兩個一階偏導數z'(x)和z'(y). z有兩個變量，第一個變量是本身也是一個函數，所以我們可以引入中間變量u=xy, 則u'(x)=y, u'(y)=x.
接下來利用複合函數的求導公式，就有z關于x的偏導數z'(x)=f1u'(x) f2y'(x)=f1u'(x)=yf1. 其中 f1表示z關于xy的偏導數，f2表示z關于y的偏導數，注意，這個y表示的是關于x的函數y，即它在這裡看作一個常數，而不是變量y，因此求y關于x的導數等于0，即y'(x)=0.
而z關于y的偏導數z'(y)=f1u'(y) f2y'=xf1 f2. 這裡的f1和f2與上面的f1和f2的意義是相同的.
有了這兩個一階偏導數，我們就可以求z的四個二階偏導數了。先求z'(xx)=yf11u'(x) yf12y'(x)=y^2f11. 這裡的f11表示f1關于xy的偏導數，f12表示f1關于y的偏導數，同樣的，這個y指的是函數y，而不是變量y，或者你可以認為它是一個中間變量。
再求z'(yy)=xf11u'(y) xf12y' f21u'(y) f22y'=x^2f11 xf12 xf21 f22，其中f11,f12的意義同上。而f21,f22也有相似的内涵，想必不需要老黃再多費口舌了吧。
最後求z'(xy)和z'(yx)，當z連續時，它們是相等的，但這裡無法直接判斷函數是否連續，因此我們兩個都要求一求。
z'(xy)=f1 yf11u'(y) yf12y'=f1 xyf11 yf12. 這裡有積的導數公式的應用。其中的f1, f11, f12意義都同上，下面就不再累述了。
z'(yx)=f1 xf11u'(x) xf12y'(x) f21u'(x) f22y'(x)=f1 xyf11 yf21. 很明顯的，隻有當f12=f21時，函數z=f(xy,y)才連續。
很難理解的解題過程，相信學不懂的朋友，沒有老黃的解析，根本就不知道這是什麼。希望老黃的解析能幫上你的忙，看不懂請耐心多看幾遍，如果找到老黃一些錯漏的地方，請指出來，萬分感激，畢竟這個過程實在是太容易出錯了。
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