這是一道特别好的高數解答題。一道題可以幫助我們理解導數的定義公式，連續和極限的内涵，以及熟練洛必達法則的運用。題目是這樣的：
已知函數f(x)={g(x)/x, x不等于0；0, x=0}，且g(0)=g'(0)=0, g"(0)=3, 求f'(0).
下面老黃邊解邊分析，分析的内容寫在【】号中。
解：f'(0)=lim(h->0)(f(h)-f(0))/h=lim(h->0)(g(h)/h^2) 【顯然這裡隻能應用導數的定義公式來求f'(0)，其中h趨于0，說明它并不是0，因此f(h)=g(h)/h，結果得到一個0比0型的不定式極限。這是因為g'(0)存在，所以g(h)在h=0連續，從而有lim(h->0)g(h)=g(0)=0】
【接下來對這個極限運用洛必達法則，分子分母同時求導，得到：】
=lim(h->0)(g’(h)/(2h))【得到的仍是一個0/0型的不定式極限。同樣是因為g"(0)存在，所以g'(h)在h=0連續，從而有lim(h->0)g’(h)=g’(0)=0】
【但是，這裡卻不能繼續運用洛必達法則了。假如繼續運用洛必達法則，就會得到lim(h->0)g"(h)/2。并且很多人順理成章地，就會得到結果等于g"(x)/2=3/2. 雖然答案是對的，但解題的過程卻是錯誤的。因為題目并沒有給出g"(h)在h=0連續的條件，所以并沒有lim(h->0)g"(h)=g"(0)=3的直接關系。正确的方法如下：】
=(1/2)lim(h->0)(g'(h)-g'(0))/h【上面極限中的因子二分之一被提到極限符号前面。另一個因子g'(h)/h的分子減去g'(0)，就構造出了g"(0)的定義公式了。而g'(0)=0，所以等式仍然成立。現在就可以得到結果了】
=g"(0)/2=3/2.
整個過程，你看明白了嗎？最後把過程整理出來，其實是很簡單的。
解：f'(0)=lim(h->0)(f(h)-f(0))/h=lim(h->0)(g(h)/h^2)=lim(h->0)(g’(h)/(2h))
=(1/2)lim(h->0)(g'(h)-g'(0))/h=g"(0)/2=3/2.
這麼簡單的解題過程中，卻蘊含了這麼多的知識，你怎麼看呢？
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