01

趣味數學

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阿凡提巧治壞地主

有一天，阿凡提騎着自己的小毛驢來到田邊。他四處欣賞着美麗的田園風光。突然，聽到有人叫他，回頭一看，原來是兩位給地主巴依老爺幹活的佃農。阿凡提忙問：“兩位朋友有什麼事嗎？”其中一位農民說：“阿凡提，我們遇到一個難題，想來請教你。”然後這位農民就把這個難題的由來講了一遍。原來，這兩位農民被地主巴依老爺雇傭幹活，眼看到發工錢的時候了，地主卻打起了壞主意。

他和賬房先生一計算，要給這兩位農民各20塊銀元。地主心裡非常不樂意，仿佛拿走他的錢就像割他的肉一樣。于是和老婆一起想出了個主意，要兩個農民明天早晨割畝麥子，一點不能多，一點也不能少。明早八點之前，巴依老爺要親自檢查。如果嚴格按要求完成了任務，就發工錢，而且還給回家的路費。如果完不成任務，工錢就一分不給。兩位農民沒有上過學，自然不知道畝麥子到底是多少，正在發愁的時候，正好碰見了阿凡提，才有了開頭那一幕。

阿凡提聽完，笑了笑說：“兩位朋友不用擔心，你們隻要按我說的去辦，保證能拿到工錢，而且還能賺取路費。”阿凡提講完，把兩位農民叫到眼前。悄悄地把解難題的辦法告訴了兩位農民。兩位農民聽了以後，非常高興，對阿凡提千恩萬謝。

第二天早晨，巴依老爺和老婆一起來到地裡檢查兩位農民任務完成的情況。巴依老爺以為兩位農民這次肯定一分錢都拿不到，所以臉上帶着得意的笑容。可是走到地邊卻發現麥子正好割了畝。兩位農民說：“老爺，你的任務我們已經按時完成了，你也該給我們工錢了吧！”巴依老爺沒辦法，隻得叫賬房先生給了農民工錢。

小朋友，你知道有什麼簡便方法計算嗎？

我們可以看出：

因此兩位農民要割畝地。解這類分數題目關鍵在于拆分，然後計算，實現簡化的目的。

02

奧數小練

在解答一些較複雜的分數加減法問題時，必須從整體上觀察試題，找到它們排列的規律及其數字特征，分析有無類似裂項公式的特點。這是解題的重點和關鍵。

常用方法：

1.公式法：直接運用公式來計算，如運用等差數列求和公式等。

2.圖解法：将算式的意思用圖表示出來，從而找出簡便計算方法。

3.裂項法：将一個分數拆分為兩個或幾個分數的差或和，使部分分數互相抵消，從而使計算簡化。通常裂項公式為：

4.分組法：運用運算定律，将原式重新組合，把能湊整或能化簡的部分結合在一起簡算。

5.代數法：将算式中的某些部分用字母代替并化簡，然後再計算出結果。

【例題1】

【思路導航】

此題每一個加數的分子都是1，而分母又都是相鄰的兩個自然數的積，用裂項法簡便。

【例題2】計算

【思路導航】此題分子都是2，而分母又都是兩個相鄰奇數的積，所以根據分數的裂項原理和方法，把每個分數拆分成兩個單位分數差的形式，通過抵消進行簡算。

【例題3】

【思路導航】此題可以将一個分數拆成兩個分數相加的形式，然後去括号，再進行運算簡便。溫馨提示：去掉括号後，要注意符号的變化。

【例題4】計算

【思路導航】此題可以用分組的方法解決。觀察可知分母是1的和為1；分母是2的和為2；分母是3的和為3；……依次類推，分母是49的和為49，此題就簡化成求1 2 3 … 49的和。

03

奧數小練

我國古代是如何計算異分母分數加減法的

分數加減法在我國《九章算術》中也有具體的講述，如下：

分數加減運算，《九章算術》已明确提出先通分，使兩分數的分母相同，然後進行加減。加法的步驟是"母互乘子，并以為實，母相乘為法，實如法而一"

這裡"實"是分子,"法"是分母，"實如法而一"也就是用法去除實，進行除法運算，《九章算術》還注意到兩點：

其一是運算結果如出現"不滿法者，以法命之"。就是分子小于分母時便以分數形式保留。

其二是"其母同者，直相從之"，就是分母相同的分數進行加減，運算時不必通分，使分子直接加減即可。

按所述法則計算，我們來看一個例子：

由此可見，早在兩千多年以前，我國分數四則運算法則已經如此先進，身為炎黃子孫應由衷感到無比驕傲和自豪。

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