本文為“2022年第四屆數學文化征文活動

從“海盜分金”到“囚徒困境”——博弈該如何進行？

作者 : 張熠

作品編号：072

博弈論應該是數學中最見不到數學影子的一個分支，因而我們在博弈論中，往往用到的數學理論知識大部分是極為簡單易懂的。但是，博弈論不在數字，而在理智。

為什麼這麼說呢？我們來看下一個經典的問題——“海盜分金”。

例1：有5名海盜得到了100枚金币，現在要按照順序，每名海盜提出一種具體的分配金币的意見（具體到每一個人應分得多少枚金币），由在場所有海盜（包括自己）進行表決，若大于一半的人認可此方案，方案通過，否則，此海盜将被扔入大海。假設每名海盜都是經濟學假定的“理性人”，即絕頂聰明，能充分考慮到每一種情況而進行每次的判斷，在投票過程中海盜們不能交流，且它們都遵守此規則問第一名海盜應該怎樣提出分配方案，才能使自己的方案通過且自身利益最大化？（以下海盜從第一到第五分别稱為A,B,C,D,E）

對于這種問題，我們不妨逆序遞推來試試：（以下過程海盜均能想到）

1.若我們是海盜E，且前三位海盜已經死亡，那麼海盜D的方案無論如何都不會通過【（0,100）除外】，所以我們無論如何都要反對海盜C。

2.若我們是海盜D，在知道1.的情況下，我們是一定會給C投以贊同票，否則我們的性命不保。

3.若我們是海盜C，在知道1.2.的情況下，我們會做出（100.0.0）的方案來讓自己的利益獲得最大化。

4.若我們是海盜B，在知道3.的情況下，我們隻要用（98.0.1.1）的方案來讓DE的利益有一部分，避免3.情況的出現。以此來将自己的利益最大化。

5.假定我們是海盜A，在知道4.的情況下，我們必将提出(97，0，1，2，0)或(97，0，1，0，2)的方案，即放棄2号，而給3号一枚金币，同時給4号(或5号)2枚金币。由于1号的這一方案對于3号和4号(或5号)來說，相比2号分配時更優，他們将投1号的贊成票，再加上1号自己的票，1号的方案可獲通過，97枚金币可輕松落入囊中。這無疑是1号能夠獲取最大收益的方案了!

如此，我們得到一個結論，在大家理性的情況下，逆推法是個不錯選擇。

但是，凡事都有例外，我們來看一個理性與信任的題：囚徒困境。

例2：兩個嫌疑犯作案後被警察抓住，分别關在不同的屋子裡接受審訊。警察知道兩人有罪，但缺乏足夠的證據。警察告訴每個人:如果兩人都抵賴，各判刑一年;如果兩人都坦白，各判八年;如果兩人中一個坦白而另一個抵賴，坦白的放出去，抵賴的判十年。于是，每個囚徒都面臨兩種選擇:坦白或抵賴。

我們嘗試分析這題，我們發現在對于個體而言，坦白是最佳選擇，因為對面無論如何選擇，自己都有倆種情況：釋放或8年的牢。所以，倆人在都不信任對方的情況下會做出一個解：都做八年的牢。可是，最佳選擇明明是都抵賴才對。

由此，我們不妨提出一個設想，即當每個人都考慮個體利益最大化時，反而會使群體利益達不到最大化。因而囚徒困境所反映出的深刻問題是，人類的個人理性有時能導緻集體的非理性--聰明的人類會因自己的聰明而作繭自縛，或者損害集體的利益。

這，往往反映出了博弈論中理想現實的縮影，也往往讓我們對現實發出更多的思考，在思考的同時，我們不妨思考下标題中的“博弈論該如何進行”，博弈論的困境，往往是自己對自己所做出的困境，即無法達到最佳理智狀态。為解決這個困境，最重要的便是從多種思考角度出發，映射到現實中，思考對方的行動，依情況而行，見招拆招，方可取勝！

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